Гомоморфизмы колец

[Braga]

В нескольких учебниках сравнил определения гомоморфизма колец. Гомоморфизм это отображение между кольцами $R$ и $S$, выполняющее три условия:
1) $\varphi (a+b)=\varphi (a) + \varphi (b)$ для всех $a, b \in R$
2) $\varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b)$ для всех $a, b \in R$
3) $\varphi (1_R) = 1_S$
Разве третье условие не выводится однозначно из первых двух как и то, что ноль переводится в ноль?

$\varphi (1_R)=\varphi (1_{R}^{n}) = \varphi (1_R)^n$ для всех $n \in \mathbb{N}$, следовательно $\varphi (1_R) = 1_S$ и
$\varphi (0_R)=\varphi (n \times 0_R)=n \times \varphi (0_R)$ для всех $n \in \mathbb{N}$, следовательно $\varphi (0_R)=0_S$

[Nemiroff]

$\forall x\inR \;\varphi(x)=0_S$

[Braga]

Хм. То есть выходит не может быть тривиального отображения колец, такого, что $\operatorname{Ker} \varphi = R$?

[kp9r4d]

Да вообще странное определение, учитывая что кольца могут быть и без единицы. Разве отоброжение, которое привёл Nemiroff нелогично считать гомоморфизмом?

[Nemiroff]

Braga в сообщении #982983 писал(а):

$\varphi (1_R)=\varphi (1_{R}^{n}) = \varphi (1_R)^n$ для всех $n \in \mathbb{N}$, следовательно $\varphi (1_R) = 1_S$

А "следовательно" можете доказать?

Braga в сообщении #983009 писал(а):

То есть выходит не может быть тривиального отображения колец, такого, что $\operatorname{Ker} \varphi = R$?

Дело не только в тривиальном отображении. При этом может или не может — это вопрос договорённости. По определению, данному вами, не может (если только кольцо $S$ не состоит из одного элемента).

-- Чт фев 26, 2015 19:12:00 --

kp9r4d в сообщении #983010 писал(а):

Да вообще странное определение, учитывая что кольца могут быть и без единицы.

Кольцами разные авторы называют разные вещи. В западной литературе принято (насколько я понимаю) считать кольцом (элементом категории $\mathrm{Ring}$) только то, что содержит единицу. А не содержащий единицу объект — это псевдокольцо (элемент категории $\mathrm{Rng}$).

-- Чт фев 26, 2015 19:21:56 --

По поводу "не только тривиального".
Идемпотенты и нильпотенты позволяют делать весёлые вещи.
Пусть $a$ идемпотент в коммутативном кольце $R$, то есть $a^2=a$.
Вот морфизм $f:R\rightarrow R$, $f(x)=xa$. Это гомоморфизм или нет?

[Braga]

Если для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется для некоторого элемента $a=a^n$, то этот элемент - единица.
Но если это не совсем корректно, меня сейчас начало смущать это доказательство, то:
для некоторого $a$ такого, что $\varphi (a) \neq 1_S$, $\varphi (a) \neq 0$
$\varphi (a)=\varphi (a \cdot 1_R)=\varphi (a) \varphi (1_R)$ а отсюда уже точно следует, что единица отображается в единицу. Или скажете, что я уже этим и определил нетривиальность отображения, допустив, что такой элемент существует?

-- 26.02.2015, 20:31 --

ну да, если убрать это третье условие, то доказать в таком отображении с идемпотентным элементом, что единица отображается в единицу - нельзя.

Убедили