Задание подпространства системой линейных уравнений

[4exovenus]

Здравствуйте!
Возник такой вопрос: если подпространство задано базисными векторами, то как от них перейти к системе линейных уравнений? Например, $e_1 = (1; 1; 1; 1); e_2 = (1; 2; 2; -1); e_3 = (1; 0; 0; 3).$
Заранее спасибо за ответ!

[ИСН]

Запишите в самом общем виде (вообще без цифр, одни буквы) линейное уравнение. Теперь финт ушами: иксы известны. А коэффициенты - нет. И это их мы ищем.

[kp9r4d]

Чуть более геометрическая интерпретация. Любую однородную СЛАУ можно записать как:
$(f_1,x) = 0, (f_2,x) = 0, ..., (f_n,x) = 0$ для некоторых векторов $f_1,...,f_n$. В таком виде очевидно, что чтобы задать наше подпространство, нужно в качестве $f_1,...,f_n$ взять какой-нибудь базис ортогонального дополнения к нему.

[ewert]

Про ортогональные дополнения -- это, конечно, наиболее разумно; однако беда в том, что для этого про них надо уже хоть что-то знать. А к моменту этой задачки знание понятия ортогональности вообще вряд ли предполагается. Поэтому рискну дать совсем тупой совет, не предполагающий вообще никаких знаний, кроме определений "подпространства" и "базисных векторов".

Запишите формальное (параметрическое) определение этого подпространства. Оно будет представлять из себя некие три (пардон, четыре, естественно) равенства, содержащие четыре координаты точек подпространства плюс три произвольных параметра. Ну так и исключите из этой системы параметры -- ровно одно уравнения на координаты и останется.

[svv]

Эта система векторов линейно зависима, $2e_1=e_2+e_3$.

[ewert]

svv в сообщении #982609 писал(а):

Эта система векторов линейно зависима,

Ну два так два; какая разница для идеологии-то.

[svv]

Это не по поводу Вашего метода. Он понятный и хороший.