что такое гиперплоскость (размерность над R и над C)

[stable_manifold]

Гиперпло́скость — подпространство евклидова или аффинного пространства коразмерности 1, то есть с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Можно ли назвать подпространство вида
\{(x_{1},...,x_{r})\in C^{r}/ \exists ! i: x_{i}=a \in C \} гиперплоскостью в $ C^{r}$?

Дело, собственно, в том, что $C^{r}$ имеет размерность r над полем компл. чисел C и 2r над полем вещественных, или нет?
Помогите разобраться, пожалуйста!

[Brukvalub]

Такие объекты называют комплексными гиперплоскостями.

[PAV]

Я не понимаю, индекс $i$ фиксирован или нет? Для обычной вещественной плоскости это будут две пересекающиеся прямые без точки пересечения или нет?

[stable_manifold]

PAV, индекс фиксирован в каждом конкретном случае. Всего получается r подпространств такого вида.
На вещественной плоскости это две прямые, пересекающиеся в точке (а,а).

[PAV]

Я просто хочу сказать, что каждая из прямых является гиперплоскостью, но их объединение - нет.

Если индекс фиксирован в каждом конкретном случае, то обозначение должно быть примерно таким:
$G_i(a)=\{(x_1,\ldots,x_r)\,|\,x_i=a\}$

А то, что написано у Вас - это объединение всех таких гиперплоскостей минус все попарные пересечения.

[stable_manifold]

Справедливое замечание, PAV.

Добавлено спустя 4 минуты 21 секунду:

Никак не пойму, какую размерность имеет пространство C^{r}!

[Brukvalub]

stable_manifold писал(а):

Никак не пойму, какую размерность имеет пространство C^{r}!

Его комплексная размерность равна r, а вещественная - вдвое больше.

[Someone]

stable_manifold писал(а):

Никак не пойму, какую размерность имеет пространство $\mathbb C^{r}$!

Размерность в каком смысле?
1) Размерность линейного пространства над полем комплексных чисел $\mathbb C$ равна $r$.
2) Размерность линейного пространства над полем действительных чисел $\mathbb R$ равна $2r$.
3) Топологическая размерность равна $2r$.

[stable_manifold]

Понятно. Спасибо!

[stable_manifold]

Полином x(z) \in C[z], deg\ x=n порождает многообразие
\Omega^{x}=\{(z_{1},...,z_{r})\in C^{r}| x(z_{1})...x(z_{r})=0\}
\Omega^{x}=\bigcup \Omega^{x}_{i},
\Omega^{x}_{i}=\{(z_{1},...,z_{r})\in C^{r}| x(z_{i})=0)\},\ i=1...r

(z_{1},...,z_{r})\in C^{r}
Если фиксировать (r-1) координату, например, z_{2}=c_{2},...,z_{r}=c_{r}, получим x(z_{1})x(c_{2})...x(c_{r})=0 или x(z_{1})=0, то есть n точек в компл. плоскости: \lambda_{i}, i=1...n - корни многочлена x(z).

Вопрос: Кто-нибудь знает, как назвать такое отображение \mathcal{P}: C^{r}\rightarrow C? Можно ли считать это проекцией?
Или подскажите, как задать отображение формулой.
Помогите, пожалуйста - доклад горит.

[Brukvalub]

stable_manifold писал(а):

Вопрос: Кто-нибудь знает, как назвать такое отображение \mathcal{P}: C^{r}\rightarrow C?

А разве предложенная конструкция порождает такое отображение?

[stable_manifold]

P: (z_{1},z_{2}...z_{r})\in C^{r}\rightarrow (z_{1},c_{2}...c_{r})\in C
Разве не так, Brukvalub?

[Brukvalub]

На мой взгляд, Ваша последняя запись несколько отличается от изложенного в предыдущем посте:

stable_manifold писал(а):

Если фиксировать (r-1) координату, например, z_{2}=c_{2},...,z_{r}=c_{r}, получим x(z_{1})x(c_{2})...x(c_{r})=0 или x(z_{1})=0, то есть n точек в компл. плоскости:\lambda_{i}, i=1...n - корни многочлена x(z).

, но теперь Вы действительно написали оператор проектирования многомерного арифметического пространства на его первую координату.

[stable_manifold]

Вы правы, Brukvalub, излагаю путанно.
Спасибо за помощь. Кажется, все встало на свои места!