фильтры и ультрафильтры

[Spook]

Правильны ли мои следующие утверждения:
1.не каждый фильтр - максимальная центрированная система
2.каждый ультрафильтр - максимальная центрированная система
3.каждая максимальная центрированная система - фильтр
4.каждая максимальная центрированная система - ультрафильтр

И немного из топологии:
Мощность Уолмена бикомпактного расширения - мощность множества всех ультрафильтров

[Someone]

Spook писал(а):

Мощность Уолмена бикомпактного расширения - мощность множества всех ультрафильтров

Пожалуй, нет. Рассмотрим множество ординалов, меньших первого несчётного $\omega_1$, с топологией, порождённой линейным порядком на этом множестве (это пространство обозначается $TW(\omega_1)$). Поскольку линейно упорядоченные пространства нормальны, расширение Уолмена этого пространства совпадает с расширением Стоуна - Чеха, которое есть $TW(\omega_1+1)$ и имеет мощность $|TW(\omega_1+1)|=|TW(\omega_1)|=\aleph_1$, в то время как мощность множества всех ультрафильтров равна $2^{2^{\aleph_1}}>\aleph_1$.

Вы, вероятно, не обратили внимание на некоторую терминологическую тонкость: расширение Уолмена (Волмэна) - это множество максимальных центрированных систем замкнутых множеств, а не любых, поэтому, если рассматриваемое пространство не дискретно, то такая система не обязана быть ультрафильтром, хотя её часто называют ультрафильтром замкнутых множеств или ультрафильтром в семействе всех замкнутых множеств.

П.С.Александров, П.С.Урысон. Мемуар о компактных топологических пространствах. "Наука", Москва, 1971.
Р.Энгелькинг. Общая топология. "Мир", Москва, 1986.

Исправил опечатку в формуле мощности множества ультрафильтров.

[Spook]

Someone, спасибо. Другие утверждения как я понял верны. Я не очень силен в топологии, но по-моему, мощность расширения Стоуна-Чеха равна гиперконтинууму (по крайней мере для счетного множества - задачник Архангельского-Пономарева задача 53 глава 4). Наверное я запутался, буду признателен если проясните.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

...в то время как мощность множества всех ультрафильтров равна $2^{\aleph_1}>\aleph_1$.

А разве не $2^{2^{\aleph_1}}$?

Ведь в другой теме Вы же сами цитировали задачник Архангельского-Пономарёва

Цитата:

мощность множества ультрафильтров на бесконечном множестве $X$ равна $2^{2^{|X|}}$

P. S. Задачник мне, к сожалению, взять так и не удалось. В библиотеке все экземпляры разобрали

Добавлено спустя 27 минут 26 секунд:

Что касается первых четырёх утверждений, то они, конечно же, верны.

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Someone писал(а):

...в то время как мощность множества всех ультрафильтров равна $2^{\aleph_1}>\aleph_1$.

А разве не $2^{2^{\aleph_1}}$?

Вы правы. Исправлю сейчас.

Добавлено спустя 15 минут 29 секунд:

Spook писал(а):

Я не очень силен в топологии, но по моему, мощность расширения Стоуна-Чеха равна гиперконтинууму (по крайней мере для счетного множества - задачник Архангельского-Пономарева задача 53 глава 4).

Для небикомпактного счётного регулярного пространства - да, мощность расширения Стоуна - Чеха равна $2^{\mathfrac c}$, где $\mathfrac c$ - континуум.

[Spook]

Someone писал(а):

...в то время как Для небикомпактного счётного регулярного пространства - да, мощность расширения Стоуна - Чеха равна $2^{\mathfrac c}$, где $\mathfrac c$ - континуум.

Someone, таким и является множество N натуральных чисел, а для дискретных пространств, как я понял по Вашему ответу, мощность максимальных замкнутых центрированных систем равна мощности ультрафильтров. Так может быть, если доказать что расширения равны (Уолмена и Стоуна-Чеха) и найти мощность рсширения Стоуна-Чеха, то мы и получим искомое количество ультрафильтров, а значит фильтров и центрированных систем на счетном множестве?

Профессор Снэйп писал(а):

Что касается первых четырёх утверждений, то они, конечно же, верны.

Спасибо, камень с плеч.

[Someone]

Spook писал(а):

Так может если доказать что расширения равны(Уолмена и Соуна-Чеха) и найти мощность рсширения Стоуна-Чеха то мы и получим искомое количество ультрафильтров, а значит фильтров и центрированных систем на счетном множестве?

Р.Энгелькинг. Общая топология. "Мир", Москва, 1986.

Этим вопросам посвящён параграф 3.6 "Стоун-чеховская компактификация и расширение Волмэна".

[Spook]

Ну, вряд ли я на данном этапе смогу разобраться тут полностью, даже с книгой . Интересно просто, можно ли действовать по такому алгоритму или нет (вроде логично получен, если кто-нибудь заметит ошибку, то укажите пожалуйста). Кстати Someone, Вы вроде бы писали в соседней теме, что Вам известна мощность множества всех ультрафильтров, но там много топологии. Интересно было бы узнать хотя бы план этого решения, так как мои рассуждения верны только для счетного множества.

[Someone]

1) Если $f\colon X\to Y$ - непрерывное отображение $T_1$-пространства $X$ в бикомпакт (= хаусдорфово бикомпактное пространство) $Y$, то существует непрерывное отображение $f_{\omega}\colon\omega X\to Y$ волмэновского расширения $\omega X$ пространства $X$, удовлетворяющее условию $f_{\omega}|_X=f$ ($f_{\omega}$ - непрерывное продолжение отображения $f$ на $\omega X$).
2) Если $\{X_t:t\in T\}$ - семейство пространств плотности $d(X_t)\leqslant\tau$, $t\in T$, имеющее мощность $|T|\leqslant 2^{\tau}$, то произведение $X=\prod\limits_{t\in T}X_t$ имеет плотность $d(X)\leqslant\tau$ (предполагается, естественно, что $\tau\geqslant\aleph_0$).
3) Из 2) следует, что пространства $D^{2^{\tau}}$ ($D$ - дискретное двоеточие) и $I^{2^{\tau}}$ ($I=[0,1]$ - отрезок) - бикомпакты (по теореме Тихонова) плотности $\tau$, веса $2^{\tau}$ и мощности $2^{2^{\tau}}$.
4) Если $X$ - дискретное пространство мощности $|X|=\tau\geqslant\aleph_0$, то, отображая его на всюду плотное подмножество пространства $D^{2^{\tau}}$ (или $I^{2^{\tau}}$), по 1) получим непрерывное отображение $\omega X$ на $D^{2^{\tau}}$ (или на $I^{2^{\tau}}$), поэтому $|\omega X|\geqslant 2^{2^{\tau}}$.

Но топологических деталей там очень много, так что, боюсь, Вам не избежать детального знакомства с книгой Р.Энгелькинга или с задачником А.В.Архангельского и В.И.Пономарёва.

[Spook]

Someone, спасибо Вам! Даже без стоун-чеховского расширения вроде вышло. Буду изучать на каникулах, чтобы не расслаблятся .