М-да, сложного-то, вроде, нет, но что-то такие тяжеловесные рассуждения получаются, что самого оторопь берёт.
Для любого
последовательность
становится периодической по
, начиная с какого-то номера
, с периодом
(ну это легко доказывается, по Дирихле она хоть один раз, да повторится, а дальше никуда не денется с подводной лодки). Значит, начиная с этого номера периодической будет и последовательность сумм
последних цифр
(возможно, с меньшим периодом).
Пусть максимальная сумма последних
цифр
в этом бесконечном периодическом хвосте равна
. Далее идём от противного. Если утверждение задачи неверно, то последовательность
тем более ограничена сверху числом
(которое достигается при некотором
). Поскольку, очевидно,
не убывает при росте
, то это значит, что
для всех
.
В свою очередь, отсюда следует, что для тех номеров
, которые реализуют максимум суммы последних
цифр
в бесконечном периодическом хвосте , десятичная запись
содержит только нули в разрядах
,
, ...,
. Однако отсюда с необходимостью следует, что период
для всех
(один раз повторившись через
членов, никуда последовательность уже не денется).
И вот тут в наши сети наконец попадается долгожданное противоречие. Ведь эти нули являются результатом переноса из нижних
разрядов при последовательном сложении (надеюсь, все держат в памяти, что в последовательности
каждый последующий член является суммой предыдущего с самим собой?). Взяв достаточно большое
, мы можем добиться, чтобы
членов было недостаточно, чтобы в результате переносов из этих разрядов во всех разрядах
,
, ...,
снова появились сплошные нули (для этого требуется по крайней мере один перенос из
-го разряда, а
в наших руках, в то время как период
фиксирован).