Whitney's pendulum

[Oleg Zubelevich]

Courant and Robbins in their book What is mathematics? formulated a problem stated up by H. Whitney. The problem is as follows.

"Suppose a train travels from station $A$ to station $B$ along a straight section of track. The journey need not be of uniform speed or acceleration. The train may act in any manner, speeding up, slowing down, coming to a halt, or even backing up for a while, before reaching
$B$. But the exact motion of the train is supposed to be known in advance; that is, the function $s=w(t)$ is given, where s is the distance of the train from station $A$, and $t$ is the time, measured from the instant of departure. On the floor of one of the cars a rod is pivoted so that it may move without friction either forward or backward until it touches the floor. If it does touch the floor, we assume that it remains on the floor henceforth; this will be the case if the rod does not bounce. Is it possible to place the rod in such a position that, if it is released at the instant when the train starts and allowed to move solely under the influence of gravity and the motion of the train, it will not fall to the floor during the entire journey from $A$ to $B$?"

The authors gave positive answer to this question. Their argument was informal. V. Arnold considered this problem as open.


http://www2.im.uj.edu.pl/KlaudiuszWojcik/fw%5B1%5D.pdf
http://arxiv.org/pdf/1407.4787.pdf
http://arxiv.org/pdf/1411.1585.pdf
http://arxiv.org/pdf/1502.04306.pdf

[svv]

Об этой задаче упоминал Литтлвуд в популярной книге «Математическая смесь», стр. 15-18 (в пятом издании). Так как он пишет «Доказательство имеется в Курант-Роббинс. Иной способ доказательства состоит в следующем. ...», может, Вам будет интересно посмотреть.

Оригинал — Littlewood, J. E. (1953), A mathematician's miscellany.

[Geen]

Главный вопрос - как классифицировать случай, когда маятник упал точно в момент прибытия в B, мне кажется

[svv]

Так как поезд движется произвольно, я могу рассмотреть Journey 2, отличающееся только тем, что после прибытия в B поезд стоит там ещё минуту, и только после этого поездка заканчивается. Удастся удовлетворить условию в этом случае? Тогда и Вы сможете заменить «спорный» случай на бесспорный: в момент прибытия в B стержень еще не упадет. Не удастся? Тогда общий ответ на вопрос — отрицательный.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #980009 писал(а):

http://www2.im.uj.edu.pl/KlaudiuszWojcik/fw%5B1%5D.pdf
http://arxiv.org/pdf/1407.4787.pdf
http://arxiv.org/pdf/1411.1585.pdf
http://arxiv.org/pdf/1502.04306.pdf

Дайте, пожалуйста, ссылки на соответствующие аннотации к PDF.

Кстати, как сформулировать аналогичную трёхмерную задачу (для маятника с двумя степенями свободы)?

[Oleg Zubelevich]

http://arxiv.org/abs/1411.1585
http://arxiv.org/abs/1407.4787
http://arxiv.org/abs/1502.04306

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #980021 писал(а):

Об этой задаче упоминал Литтлвуд в популярной книге «Математическая смесь», стр. 15-18 (в пятом издании). Так как он пишет «Доказательство имеется в Курант-Роббинс. Иной способ доказательства состоит в следующем. ...», может, Вам будет интересно посмотреть.

Спасибо. Результаты по ссылкам вытекают из того, что написано у Литтлвуда?

[Red_Herring]

svv в сообщении #980029 писал(а):

Так как поезд движется произвольно, я могу рассмотреть Journey 2, отличающееся только тем, что после прибытия в B поезд стоит там ещё минуту, и только после этого поездка заканчивается.

Поезд может стоять не только минуту, но и гораздо дольше, хотя и конечное время. Тогда при прибытиив точку стояния положение маятника должно быть очень близко к вертикальному.Аналогично—для стояния в промежуточных точках.

[Munin]

Я не понимаю, а в чём сложность, которая не даёт считать informal argument автора строгим, и почему задача считается(лась) нерешённой.

Пришло в голову такое соображение: надо объяснить, почему поток траекторий, касающийся крайней точки (лежащего горизонтально маятника), не отрывается от неё впоследствии. Здесь могут быть существенными те нюансы, что точки "залипания" именно горизонтальны (или не выше горизонтали), и что уравнение движения маятника - 2-го порядка. Интересно, это сильно не в кассу?

[sup]

Munin в сообщении #980116 писал(а):

что точки "залипания" именно горизонтальны (или не выше горизонтали)

Я думаю, что если поезду запретить иметь сколь угодно большие ускорения, то от горизонтали можно отойти на малый угол. Маятник, попав в этот малый угол уже оттуда не выйдет. Тут, разумеется, нужны некоторые оговорки, но смысл, я надеюсь, понятен.

[Munin]

Я подумал, что если разрешить маятнику падать ниже горизонтали (и пусть "залипает", скажем, в положении вертикально вниз, справа или слева), то с этим моментом будет проще: ясно, что если маятник опустится ниже горизонтали, уже никакие ускорения поезда не смогут его обратно поднять.

[svv]

Oleg Zubelevich в сообщении #980097 писал(а):

Спасибо. Результаты по ссылкам вытекают из того, что написано у Литтлвуда?

Пока не знаю, я решил упомянуть книгу Литтлвуда сразу, понимая, что со ссылками я буду в лучшем случае разбираться долго.

Munin в сообщении #980131 писал(а):

ясно, что если маятник опустится ниже горизонтали, уже никакие ускорения поезда не смогут его обратно поднять.

Вам дается маятник, в начальном состоянии подвес неподвижен, а маятник смотрит вверх, отклоняясь от вертикали, скажем, на 15°. Скорость маятника равна нулю. Задача: двигая подвес в пределах условий задачи, добиться такого состояния: подвес опять неподвижен (располагаясь не обязательно на старом месте), а маятник легонько покачивается относительно направления вертикально вниз. Задача кажется простой, но представьте, что я заснял Ваше искусство на камеру и прокрутил задом наперед. Обратный фильм ведь не противоречит законам механики?

Red_Herring
Да, согласен. То был мой ответ Geen, позволяющий исключить из рассмотрения спорные случаи.

[Munin]

svv в сообщении #980165 писал(а):

Вам дается маятник, в начальном состоянии подвес неподвижен, а маятник смотрит вверх, отклоняясь от вертикали, скажем, на 15°. Скорость маятника равна нулю. Задача: двигая подвес в пределах условий задачи, добиться такого состояния: подвес опять неподвижен (располагаясь не обязательно на старом месте), а маятник легонько покачивается относительно направления вертикально вниз. Задача кажется простой, но представьте, что я заснял Ваше искусство на камеру и прокрутил задом наперед. Обратный фильм ведь не противоречит законам механики?

Хм. Вы правы. Я сильно не подумал.

[Oleg Zubelevich]

Игрушка из той же серии.


Гладкий длинный стержень вращается в вертикальной плоскости вокруг оси проходящей через точку $O$ перпендикулярно рисунку. Закон изменения угла $\phi=\phi(t)\in C^3([0,\infty))$ известен.
По стержню скользит колечко массы $m$. Колечко может скользить в обе стороны от точки $O$.
Утв.: Если при всех $t\ge 0$ выполнено неравенство $|\dot\phi(t)|\ge const>0$ то найдется такое начальное положение $r(0),\quad \dot r(0)=0$, что колечко никогда не соскользнет со стержня.

[Munin]

Не верю.

Стержень можно держать в почти вертикальном положении очень долго, намного дольше, чем $\sqrt{2L/g}.$ Тогда какую бы вертикальную скорость колечко ни имело на начало этого промежутка времени, оно выскочит либо вверх, либо вниз.