Какие решения могут быть у функционального уравнения?

[DLL]

Рассмотрим уравнение:
$t = a(u) s + b(u)$
Будем считать функции $a(u) и b(u)$ произвольными.
А искать будем функцию $u(s,t)$.

Например, при соответствующем выборе $a, b$ можно добиться чтобы $u(s,t)$ была произвольной линейной функцией переменных $s, t$.
В то же время $u(s,t) = s + t^2$ не может получится ни при каких $a, b$. Доказательство элементарное:
$a'(s+t^2) 2 t s + b'(s+t^2) 2 t = 1,$
$a'(s+t^2) s + b'(s+t^2) = 0,$
то есть система несовместна!

Можно ли как-нибудь определить какие $u(s,t)$ возможны, а какие нет?

[mihiv]

DLL в сообщении #979825 писал(а):

$a'(s+t^2) 2 t s + b'(s+t^2) 2 t = 1,$
$a'(s+t^2) s + b'(s+t^2) = 0,$
то есть система несовместна!

Второе уравнение системы должно быть: $a'(s+t^2)s+a(s+t^2)+b'(s+t^2)=0$.

[DLL]

Да
P.S: но она все равно несовместна, потому что $a(s+t^2) = - \frac{1}{2t}$

[svv]

Необходимое условие Вы практически получили. Дифференцируя $as+b=t$ по $s$ и по $t$, получим
$(a's+b')u'_s=-a$
$(a's+b')u'_t=1$
Отсюда $\frac{u'_s}{u'_t}=-a$. Но справа может быть не произвольная функция $s$ и $t$, а только функция от $u(s,t)$. То есть отношение $u'_s$ и $u'_t$ (или наоборот) должно быть функцией $u$.
Ещё одна формулировка: направление градиента $u$ зависит только от $u$.

[DLL]

Так оно наверное и достаточное?

[svv]

Боюсь, нет. Пусть мы выбрали $u(s, t)$, удовлетворяющую этому условию. Тогда уже известна функция
$a(u)=-\frac{u'_s}{u'_t}$
Казалось бы, теперь можно найти и
$b'(u)=\frac{1}{u'_t}-a's$
Но нет никаких гарантий, что правая часть будет функцией $u$, как того требует левая часть.