Утверждение Хоппа или Задача о числах счастья.

[jon-pe]

Существуют только два натуральных числа
отличных от единицы и больших десяти, такие
что будучи возведенные в некую натуральную
степень, порождают числа, сумма цифр каждого
из которых равняется исходному числу.

P.S.: тот кто найдет эти числа - получит счастье))) Так говорится в легенде)

[gris]

$17^3=4913$
Ура! Мне и половинки счастья хватит!
$22^4=234256$ ну это естественно.
Дальше боюсь
Или показатель степени должен быть одинаков для обоих чисел?
Тогда $25^4=390625$

<а зачем условие "отличных от единицы", если второе условие "больше 10" ? >

[Утундрий]

gris в сообщении #978360 писал(а):

зачем условие "отличных от единицы", если второе условие "больше 10"

Может там частица "не" потерялась?

[svv]

jon-pe в сообщении #978350 писал(а):

тот кто найдет эти числа - получит счастье)))

Я только что нашёл эти числа. В сообщении grisа.

[Утундрий]

Да, наверное всё-таки имелось в виду "не больших $10$". Ибо посмотрим пристальнее, к примеру, хоть на число $7$... да и на рядом стоящее число $8$ заодно... Хотя нет, фигня получается. Потому что ведь и число $9$... а в условии говорилось о только двух числах.

(Оффтоп)

$7^4=2401$
$8^3=512$
$9^2=81$

P.S. Кстати, а кто такой Хопп?

[gris]

Да, Вы правы. Если это число из одной цифры, то задача приобретает интересный вид, но уже мне недоступный Хотя вот и примеры. Я, правда, думал, что проблема будет звучать как-то космологично. Типа, что для любого числа (кроме, конечно, с остатком не $3$ и не $6$) существует бесконечное число степеней ясно каких.
А потом я подумал, что автор просто пошутил. Какая ещё легенда? Это из разряда одноклассничковых писем счастья про дни недели. Или байки про Задачи Энштейна и т.п. Да ещё эти бикомпланарности увидел
Есть Dietmar Hopp, один из руководителей немецкой софтверной компании. В принципе, они бы могли устривать подобные конкурсы

[Someone]

В общем, если обозначим искомое число буквой $M$, и если число $M^k$, $k\geqslant 2$, имеет $n$ цифр, то сумма $S$ цифр числа $M^k$ удовлетворяет условию $S\leqslant 9n$. Наименьшее $n$-значное число равно $10^{n-1}$. По условию должно выполняться равенство $S=M$. Поэтому должно выполняться неравенство $(9n)^k\geqslant 10^{n-1}$, откуда $k\geqslant\frac{n-1}{\lg(9n)}$.

Если речь идёт об однозначных числах, то таких чисел, больших единицы, три штуки, и ничего не стоит найти их ручным перебором. Если же величину числа $M$ не ограничивать, то таких чисел весьма много.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #978434 писал(а):

и ничего не стоит найти их ручным перебором

Пять минут это таки не ничто! А электричество на куркулятор потраченное, оно что - тоже денёг не стоит?!

[Andrey A]

$18^3=5832$
$20^{13}=81920000000000000$
У каждого свои два числа.

[Gagarin1968]

$26^3=17576$

[serega75]

jon-pe в сообщении #978350 писал(а):

P.S.: тот кто найдет эти числа - получит счастье))) Так говорится в легенде)

По-моему вы явно забыли написать, что это легенда нашего класса. Срочно нужны решения до утра. Если поможете решить, буду очень счастлив. Решить не можем но кроликов разводим.

[Deggial]

serega75, замечание за подъем темы бессодержательным сообщением.