задача Римана о распаде разрыва

[k0ky4]

Дано уравнение:

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\frac{\partial{u^{2}}}{\partial x} = 0, $$

С начальным условием

$$ u(0,x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x \leq -1 \\ -1, \text{ если } -1 < x \leq 1 \\ 0, \text{ если } x > 1 \end{cases}, $$

Методом характеристик у меня получилось:

$$ u(t,x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x \leq -\frac{1}{2} t - 1 \\ -1, \text{ если } -\frac{1}{2} t - 1 < x \leq -t + 1 \\ \frac{x-1}{t}, \text{ если } -t + 1 < x < 1 \\ 0 \text{ если } x \geq 1 \end{cases} $$

Уважаемые знатоки, правильно ли я решил задачу?

[TOTAL]

k0ky4 в сообщении #979553 писал(а):

Методом характеристик у меня получилось:

Уравнение характеристики какое?

[ИСН]

Такая запись

k0ky4 в сообщении #979553 писал(а):

$$ \frac{\partial{u^{2}}}{\partial x} $$

вызывает вопрос, в какую сторону исправить ошибку. Примерно как слова "Оптека", "Фодка" или "Хорово".

[Red_Herring]

k0ky4 в сообщении #979553 писал(а):

Уважаемые знатоки, правильно ли я решил задачу?

Нет. В какой точке располагается разрыв? Что было бы если бы он располагался в 0? Как первая задача сводится ко второй?

-- 17.02.2015, 08:03 --

ИСН
Это запись в дивергентной форме; $\frac{\partial{(u^{2})}}{\partial x}$.

[ИСН]

Ну ладно.

[sup]

k0ky4
А Вы картинку рисовали?
Обратите внимание не точку
$x = -3, t = 4$.
Там происходит кое-что интересное.

[k0ky4]

Red_Herring
Разрывы в -1 и 1.
Если для начальной функции

$$ u(0,x) = \begin{cases} u^{-}, \text{ если } x < 0 \\ u^{+}, \text{ если } x > 0 \end{cases}, $$

то есть с разрывом в нуле, $u^{-}>u^{+}$, то

$$ u(t, x) = \begin{cases} u^{-}, \text{ если } x < \frac{u^{-}+u^{+}}{2} \\ u^{+}, \text{ если } x > \frac{u^{-}+u^{+}}{2} \\ \end{cases}, $$

а если $u^{-}<u^{+}$, то

$$ u(t, x) = \begin{cases} u^{-}, \text{ если } x \leq u^{-}t \\ \frac{x}{t}, \text{ если } u^{-}t<x<u^{+}t\\ u^{+}, \text{ если } x \geq u^{+}t \\ \end{cases}, $$

В случае, если разрыв не в нуле, разве просто такое же решение не сдвигается вместе с разрывом?

[Red_Herring]

Верно, я не заметил, что у Вас два разрыва вначале. Причём один сохраняется, а второй распадается. Заметим, однако что регион где $u=-1$ описанныйВами начиная с какого-то момента пуст. Об этом говорит Вам

sup в сообщении #979567 писал(а):

Обратите внимание не точку
$x = -3, t = 4$.
Там происходит кое-что интересное.

После этого момента Вам следует перерешать задачу.