Помогите решить функциональное уравнение

[Rock`n`Rolla]

Задача такова: Функция $\varphi(x)$ определена для всех действительных $x$, удовлетворяет соотношению: $\varphi(x^{2}) - 2x\varphi(x) - \varphi(x^{2} + 2) = x^{2} + 5x$. Чему равно $\varphi(3)$?

Пробовал подставлять за место $\varphi(x)$ полиномы различной степени, результат не сходился.

[mihailm]

А вместо икс разные числа пробовали подставлять?

[Rock`n`Rolla]

Пробовал, но толку от этого никакого.

[ewert]

Rock`n`Rolla в сообщении #978921 писал(а):

$\varphi(x^{2}) - 2x\varphi(x) - \varphi(x^{2} + 2) = x^{2} + 5x$. Чему равно $\varphi(3)$?

Чему угодно.

[Rock`n`Rolla]

Как это доказать?

[ewert]

Функцию можно задать на $[0;\sqrt2)$ как угодно, и только потом она доопределяется этим уравнением на всю ось уже однозначно.

[OlegCh]

ewert в сообщении #979526 писал(а):

Функцию можно задать на $[0;\sqrt2)$ как угодно, и только потом она доопределяется этим уравнением на всю ось уже однозначно.

Ничёсе.... А не поясните ход рассуждений? Потому что я тоже упирался в какую-то однозначно заданную функцию на всей числовой прямой.

[ewert]

При $t\geqslant0$ уравнение $\varphi(t+2)=\varphi(t)-2\sqrt t\,\varphi(\sqrt t)-t-5\sqrt t$ не накладывает никаких ограничений на функцию при значениях $t\in[0;2)$, поскольку аргумент левой части лежит вне этого промежутка. Зададим функцию на этом промежутке произвольно. Тогда это уравнение уже однозначно определяет значения функции на $[2;4)$, затем на $[4;6)$ и т.д.

[OlegCh]

Т.е. находим слагаемое, в котором у функции максимальный аргумент и переносим его в левую часть, а потом говорим, что всё, что происходит с функцией в области левее этого аргумента, нам вообще по барабану, как хотим, так и задаем, а всё, что правее задается такой вот "рекурентной" формулой. Я правильно уловил?

[provincialka]

OlegCh в сообщении #979626 писал(а):

что происходит с функцией в области левее этого аргумента, нам вообще по барабану...?

Нет, ведь уравнение должно выполняться на всей прямой. Надо проверить, не будет ли противоречий.

[ИСН]

OlegCh в сообщении #979626 писал(а):

Т.е. находим слагаемое, в котором у функции максимальный аргумент и переносим его в левую часть

Вы спрашиваете, в сущности, каков общий метод решения функциональных уравнений. Общий метод - это выкинуть нафиг и забыть. Есть редкие искусственные примеры, когда удаётся что-то получить.

[OlegCh]

Ну, в общем, да. Спасибо.