Движение шарика по направляющей

[Mopnex]

Шарик $A$ может свободно перемещаться по направляющей. Трения нет. Направляющая начинает вращаться вокруг точки О в плоскости дисплея. На шарик в начальный момент действует единственная сила $F$, направленная по стрелочке. Как так получается, что шарик ползёт по направляющей от точки $O$

[guryev]

Похожая задача рассматривалась тут. Кстати, если шарик изначально покоится в точке $O$, то он никуда двигаться не будет. В противном случае:

Во вращающейся системе отсчёта всё просто - есть центробежная сила, она и ускоряет шарик.

В инерциальной системе, наоборот, шарик не ускоряется вдоль направляющей.

Тем не менее, зависимость от времени расстояния от точки $O$ до шарика получается одинаковой обоими способами.

[Mopnex]

В неинерциальной системе понятно. А как это рассмотреть именно в инерциальной системе?

[Munin]

В инерциальной системе придётся рассматривать шарик как систему со связью. То есть, известна сила, действующая на шарик вдоль направляющей - это нуль. Но неизвестна сила, действующая на шарик поперёк направляющей. Эта сила должна быть вычислена - из условия, что шарик не сходит с направляющей.

Аналогично в школе рассматриваются движение маятника, или езда по дороге, скольжение по поверхности.

Неинерциальная система удобна тем, что позволяет избавиться от рассмотрения связи. В более продвинутом виде, это делается в теоретической механике, переходом от уравнений Ньютона к уравнениям Лагранжа.

[guryev]

В инерциальной системе:

Направьте радиус-вектор $\mathbf{r}$ шарика от точки $O$ вдоль направляющей.

Распишите $\mathbf{r}=r\mathbf{e_r}$, где $r$ - расстояние от $O$ до шарика, а $\mathbf{e_r}$ - орт вектора $\mathbf{r}$.

Найдите вторую производную по времени от $\mathbf{r}$. (Учитываем, что $\mathbf{{\overset{.}{e}}_r}=\mathbf{[\mathrm{\omega} e_r]}$), $\mathbf{\omega}$ - угловая скорость вращения направляющей.

Дальше вспоминаем: шарик вдоль направляющей не ускоряется. Как записать эту мантру математически? Правильно, $\overset{..}{\mathbf{r}}\mathbf{e_r}=0$

В итоге должна получиться знакомая формула $\overset{..}r-\omega^2r=0$

[Mopnex]

Этто да, а вот каким-нибудь простым образом с помощью стрелочек показать откуда берётся ненулевая компонента силы, действующая вдоль направляющей, нельзя?

[svv]

Её нет, просто направляющая сначала разгоняет шарик, а потом сама поворачивается так, что у шарика появляется ненулевая компонента скорости вдоль направляющей, и направлена она от центра.

[Mopnex]

Ага, вот это, похоже, то, что надо.

[Munin]

Mopnex
А чего вы ленитесь сами посчитать?

[Mopnex]

Потому что это надо не мне.

[Munin]

Тогда пусть считает тот, кому надо.

[OlegCh]

Mopnex в сообщении #978415 писал(а):

Направляющая начинает вращаться вокруг точки О в плоскости дисплея.

А где же сила тяжести? Или у вас дисплей лежит на столе?