Значения суммы трёх квадратов

[serval]

Пусть $a,b,c \in N$. Тогда выражение $a+b-c$ может принять любое целочисленное значение. Какие значения может принять выражение $a^2+b^2-c^2$ ? Или иначе - какие значение оно не может принять?

[nnosipov]

Выражение $a^2+b^2-c^2$ при натуральных $a$, $b$, $c$ может принять любое целое значение.

[gris]

$0=9+16-25$
$1=1+1-1$
$2=9+9-16$
Ну и так далее.
А вот для более высоких натуральных степеней? Тут уж призадумаешься. Нет ли тут каких-нибудь плодотворных новых идей?
Вот, навскидку:
$1=1^3+1^3-1^3$
$-1=8^3+6^4-9^3$
$-2=5^3+6^4-7^3$
$3=4^3+4^3-5^3$

[Aritaborian]

gris,

[serval]

Я извиняюсь за неточность. Предполагается (моя вина, что не указал явно), что $a \ne b \ne c$ .
Новых идей есть. Но плодотворны ли они - бог их знает.

[ИСН]

Это ограничение ничего не ограничивает. С ним ответ тот же, что без него: представимы все числа.
$1=4^2+7^2-8^2$
$2=5^2+11^2-12^2$

[serval]

Это очень хорошо ) А можно это доказать?

[ИСН]

Ну смотрите. Какие значения, для начала, может принимать $b^2-c^2$, если $b$ и $c$ отличаются ровно на единичку? Опишите их все, полностью.