Сходимость комплексного ряда

[xolodec]

Добрый всем день!
Есть ряд

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \begin{pmatrix} n\\ 3 \end{pmatrix} \cdot \frac{x^{2n}}{c_n \cdot (1 + x^{4n}) } $$

Причем последовательность

$$c_{n+1} = c_n + 2n^2 +3 , ~~ c_0 = 0$$

Требуется найти все комплесные $x$ при которых данный ряд сходится.

Я нашел в явном виде

$$c_n = \frac{10}{3} n - n^2 + \frac{2}{3}n^3 $$

Применил признак Даламбера, и после приведения подобных получил

$$ \lim_{ n \to \infty } \frac{x^2 (1+ x^{4n})}{ 1 + x^{4n +4}} $$

Из чего, рассмотрев два случая $|x|>1$ и $|x|<1$ можно получить ответ, который, однако, получается страшный с корнями :

$$ x^2 > \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

и

$$ x^2 < \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$$

Формулу Муавра знаю, но как решать дальше - не знаю. Может я ошибся где-то ?
Что значит вообще на комплексной плоскости $z^2 > a +bi $? У меня в голове это не укладывается: точка больше чем другая точка .

[iifat]

Признак Даламбера для комплексных рядов — он же с модулями, разве не?
Ну и, зная, что область сходимости такого ряда есть внутренность круга с вопросами по границе, можно начать с действительных $x$, а потом уж переходить к окружности найденного радиуса.

[ИСН]

xolodec в сообщении #977641 писал(а):

$$ x^2 > \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Каков смысл значка ">" в этом выражении?

[ewert]

Ничего вообще не надо. Очевидно вообще на всей плоскости, что ряд сходится при всех $|x|<1$ и при всех $|x|>1$ (т.к. в обоих случаях общий член ряда оценивается по модулю убывающей геометрической прогрессией). А при $|x|=1$ так же очевидно, что ряд расходится (кроме тех точек, в которых он вообще не определён) -- общий член ряда заведомо не стремится к нулю: как биномиальный коэффициент, так и коэффициент в знаменателе растут как $n^3$ (причём в последнем случае считать опять же ничего не надо, это следует из общих соображений).

[iifat]

Виноват. Проглядел, что ряд не степенной.

[xolodec]

iifat в сообщении #977659 писал(а):

Признак Даламбера для комплексных рядов — он же с модулями

Действительно, ошибся, поэтому и поплыл дальше. Спасибо большое.

iifat в сообщении #977659 писал(а):

можно начать с действительных $x$, а потом уж переходить к окружности найденного радиуса.

Так же вроде нельзя делать ? Заменять действительным переменным, а потом перейти к комплексной плоскости ? Даже для степенных рядов нужно сначала найти этот радиус сходимости, но перехода к действительным переменным здесь не делается. Насколько я знаю, радиус можно найти, как функцию от $a_n$, т.е. $R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty \sqrt[n]{|a_n|} } }$. Можете пояснить, что Вы имели в виду, когда говорили о переходе к действительному $x$ ?

ИСН в сообщении #977661 писал(а):

Каков смысл значка ">" в этом выражении?

Это было моей ошибкой в связи с неверным употреблением признака Даламбера (забыл модуль). Спасибо большое.

ewert в сообщении #977662 писал(а):

в обоих случаях общий член ряда оценивается по модулю убывающей геометрической прогрессией

Потрясающе! Действительно так просто. Спасибо большое, как я сам этого не заметил, не знаю (


Обнаружив в своих познаниях пробелы в области элементарных преобразований с комплексными числами, прошу участников форума проверить, правильно ли я делаю, когда пытаюсь решить задачу через формулу Даламбера (осознал, что путь сложнее, но очень хотелось бы извлечь максимум пользы из примера).

$$\lim_{ n \to \infty } \left| \frac{x^2 (1+ x^{4n})}{ 1 + x^{4n +4}} \right| = |x^2| \cdot \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{1+ x^{4n}}{ 1 + x^{4n +4}} \right| = |x^2| \cdot \lim_{ n \to \infty } \left| \frac{1/x^{4n}+ 1}{ 1/x^{4n} + x^{4}} \right| $$

Из последнего соотношения имеем:

$$\begin{cases} |x^2|>1,&\text{если $|x|>1$;}\\ |x^2|<1,&\text{если $|x|<1$.} \end{cases}$$

Подскажите пожалуйста, как правильно подходить к решению подобных $|x^k|>s$ неравенств в случае комплексных $x$?

[provincialka]

xolodec в сообщении #978748 писал(а):

как правильно подходить к решению подобных $|x^k|>s$ неравенств в случае комплексных $x$?

Просто вспомнив что $|x^k| = |x|^k$

[xolodec]

provincialka в сообщении #978759 писал(а):

Просто вспомнив что $|x^k| = |x|^k$

Спасибо вам огромное!
А можете меня, пожалуйста, отослать к литературе, которая могла бы восполнить мои пробелы ?
Для меня это соотношение, как снег на голову.
Заранее спасибо!

[provincialka]

xolodec
В литературе я полный профан, но здесь есть соответствующие темы. Хотя бы это. И еще где-то было.

[xolodec]

Спасибо всем огромное!! Вы очень мне помогли, спасибо большое!