простая такая асимптотика

[Oleg Zubelevich]

Имеется уравнение

$$a(y)x^2+b(y)x+c(y)+x^3\gamma(x,y)=0$$

все функции достаточно гладкие в окрестности нуля (хоть $C^\infty$);
$a(y)\ge const>0,\quad b(y),c(y)\to 0$ при $y\to 0$. Функция $c(y)<0$ при $y\ne 0$.
Доказать, что уравнение имеет решение с асимптотикой

$$x(y)=\frac{-b(y)+\sqrt{b^2(y)-4a(y)c(y)}}{2a(y)}\Big(1+o(1)\Big),\quad y\to 0$$

[ewert]

Отображение $f_y(x)=\dfrac{-b(y)+\sqrt{b^2(y)-4(a(y)+x\gamma(x,y))c(y)}}{2(a(y)+x\gamma(x,y))}$ -- сжимающее в окрестности нуля.