СТО. Вопрос по условию задачи.

[tech]

В общем, вот начало моего решения. Не мог бы кто-нибудь проверить?
Пусть $x'',y''$ - оси системы $K$ (получаемые из $x,y$ поворотом) такие, что ось $x''$ направлена по $\textbf{V}$; $x''',y'''$ - оси системы $K'$, причём ось $x'''$ направлена по $\textbf{V}$, $y'''$ - так же как и $y''$. Тогда:

$$\begin{pmatrix} ct'\\x'''\\ \end{pmatrix}=\gamma \begin{pmatrix} 1&\beta\\ \beta&1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\x''\\ \end{pmatrix};\ \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2},\ \beta=V/c$$

$$\begin{pmatrix} x''\\y''\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\varphi&\sin\varphi \\ -\sin\varphi&\cos\varphi \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix};\ \cos\varphi=V_x/V, \ \sin\varphi=V_y/V$$

$$\begin{pmatrix} x'\\y'\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\varphi&-\sin\varphi \\ \sin\varphi&\cos\varphi \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'''\\y'''\\ \end{pmatrix}$$

Дальше надо только перемножить матрицы $4 \times4$.
Правильно ли я понимаю, что
1. если система $K'$ со временем начнёт двигаться замедленно ($\textbf{a}\uparrow\downarrow\textbf{V}$) и остановится, то оси системы $K'$ будут направлены по осям системы $K$?
2. чтобы получить матрицу обратного преобразования, достаточно сделать замену $V\to-V$?

[Munin]

tech в сообщении #978475 писал(а):

Дальше надо только перемножить матрицы $4 \times4$.

Даже $3\times 3.$

tech в сообщении #978475 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что
1. если система $K'$ со временем начнёт двигаться замедленно ($\textbf{a}\uparrow\downarrow\textbf{V}$) и остановится, то оси системы $K'$ будут направлены по осям системы $K$?

Не говорите про ускорение систем отсчёта. (Это не описывается таким математическим аппаратом, а более сложная штука.) Говорите про ускорение физических систем, и частиц.

Да: в том смысле что, если мы возьмём преобразование от $K$ к $K',$ и устремим параметр $V\to 0$ - это будет не физический процесс, а рассмотрение множества таких пар систем отсчёта - то оси системы $K'$ будут направлены по осям системы $K.$

Кроме того: если взять тело, например, шар с флажками на северном, переднем и восточном полюсе, и сначала ускорить его до скорости $\mathbf{V},$ а потом замедлить, удерживая направление ускорения коллинеарно этой скорости, то когда шар замедлится до нуля, его флажки будут сориентированы по осям системы $K.$

tech в сообщении #978475 писал(а):

2. чтобы получить матрицу обратного преобразования, достаточно сделать замену $V\to-V$?

Да. Но полезно в этом убедиться самому, хотя бы один раз на примере буста вдоль оси $x$ (в вашей задаче это слишком громоздко - обращать матрицу $3\times 3,$ я не садист).

[amon]

Munin в сообщении #978482 писал(а):

в вашей задаче это слишком громоздко - обращать матрицу $3\times 3,$ я не садист

А для этого как раз и придумана Mathematica.

[Munin]

Дополнительное упражнение:

Представим себе, что буст на бесконечно малую скорость совершается по матрице $\begin{pmatrix}1&d\beta\\d\beta&1\\\end{pmatrix}.$ Проинтегрируйте такие ускорения, и убедитесь, что в результате буст на конечную скорость совершается по преобразованиям Лоренца.

Представим себе, что буст на бесконечно малую скорость в двумерном пространстве совершается по матрице

$$\begin{pmatrix}1&d\beta\cos\varphi&d\beta\sin\varphi\\d\beta\cos\varphi&1&0\\d\beta\sin\varphi&0&1\\\end{pmatrix}.$$

Проинтегрируйте такие ускорения, считая угол постоянным, и сравните с результатом своих вычислений по post978475.html#p978475 .

Представим себе, что буст на бесконечно малую скорость в трёхмерном пространстве совершается по матрице

$$\begin{pmatrix}1&d\beta\cos_x&d\beta\cos_y&d\beta\cos_z\\d\beta\cos_x&1&0&0\\d\beta\cos_y&0&1&0\\d\beta\cos_z&0&0&1\\\end{pmatrix},$$

где $\cos_{x,y,z}$ - направляющие косинусы. Проинтегрируйте такие ускорения.

-- 14.02.2015 23:18:11 --

amon в сообщении #978484 писал(а):

А для этого как раз и придумана Mathematica.

Если делать это через Mathematic-у, то это не добавит понимания. Суть в том, чтобы проделать что-то руками, и убедиться в результате, а не поверить машине на слово.

[amon]

Munin в сообщении #978486 писал(а):

Если делать это через Mathematic-у, то это не добавит понимания.

А корни тоже столбиком извлекать надо? ;) IMHO, перемножение матриц и нахождение обратных вполне можно доверить железякам. Действие это техническое, и особого понимания (IMHO) не добавляет.

[Munin]

amon в сообщении #978538 писал(а):

А корни тоже столбиком извлекать надо? ;)

Ну хотя бы некоторое количество поизвлекать столбиком надо. Хотя я бы рекомендовал, логарифмической линейкой. И в уме немножко поприкидывать. Это всё даёт совершенно иную интуицию, чем тыкание кнопочек на калькуляторе. Две-три совершенно иных интуиции. И они нужны.

amon в сообщении #978538 писал(а):

IMHO, перемножение матриц и нахождение обратных вполне можно доверить железякам. Действие это техническое, и особого понимания (IMHO) не добавляет.

Резко не соглашусь. Доверить железкам их, конечно, можно, но только после того, как некоторое количество поперемножал и пообращал сам. Своими ручками. Понимать тут е́сть чего: какова обратная от самосопряжённой матрицы? От унитарной? Почему? Какова обратная от жордановой клетки? Какова обратная от произведения унитарной на самосопряжённую? Как выглядит умножение на самосопряжённую, на унитарную, на жорданову клетку, на проектор? Как выглядит сам проектор?

Конечно, всё это рано или поздно усваивается, и можно "доверять железкам". Особенно бессмысленные случаи: матрицы $10\times 10$ и больше, матрицы с непрозрачной структурой (типа произведения трёх поворотов Эйлера), и т. п. Но происходит это не сразу. Не на втором курсе, а скорее, лет через десять после курса линала. И даже тогда, стоит иногда практиковаться ручками, чтобы не потерять ощущений на кончиках пальцев.

Вот например, студенческое задание "привести пример двух матриц $3\times 3$ таких, что $\operatorname{rk}(AB)=2$ и $\operatorname{rk}(BA)=3$" недавно заставило меня задуматься чуть ли не на полчаса. А ведь вроде нельзя сказать, что я не практикуюсь...

[tech]

Munin в сообщении #978486 писал(а):

Дополнительное упражнение:

Представим себе, что буст на бесконечно малую скорость совершается по матрице $\begin{pmatrix}1&d\beta\\d\beta&1\\\end{pmatrix}.$ Проинтегрируйте такие ускорения, и убедитесь, что в результате буст на конечную скорость совершается по преобразованиям Лоренца.

Честно говоря, это упражнение поставило меня в тупик. Не понимаю, как работать с "бесконечно малыми" преобразованиями и их композицией.
Результат преобразования – произведение бесконечно большого числа матриц:
$\begin{pmatrix}1&d\beta\\d\beta&1\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&d\beta\\d\beta&1\\\end{pmatrix}...$
Но что с этим делать?

[Munin]

Ну, попробуйте перемножить две такие матрицы, потом три, может, заметите какую-нибудь закономерность...

[tech]

Я пробовал перемножать. Произведение $n$ таких матриц равно

$$\begin{pmatrix}1&n\ d\beta\\n\ d\beta&1\\\end{pmatrix},$$

но я слабо представляю, что это значит, да и на интеграл оно пока не очень похоже..

[Sicker]

tech
Запишите диффур

-- 15.02.2015, 13:44 --

Munin в сообщении #978543 писал(а):

"привести пример двух матриц $3\times 3$ таких, что $\operatorname{rk}(AB)=2$ и $\operatorname{rk}(BA)=3$"

такое невозможно

[amon]

2 Munin.
По поводу матриц Вы наверно правы. Просто сработала аберрация, ведь когда я учился, все считалось на лог.линейке (потрясающий по производительности прибор, позволявший обсчитать лабу за 15 минут) или ручками. Поэтому, когда появились первые системы аналитических вычислений, показалось, что жизнь вот-вот наладится. А эти системы особенно эффективны на рутинных операциях. Помнится, в начале 90-х статью написали, где с помощью Reduce получили некую короткую красивую асимптотику из жуткого вороньего гнезда - сколько было радости.

[Munin]

tech в сообщении #978678 писал(а):

Я пробовал перемножать. Произведение $n$ таких матриц равно

$$\begin{pmatrix}1&n\ d\beta\\n\ d\beta&1\\\end{pmatrix},$$

Хм, а у меня другой результат.

[tech]

Тогда, может быть, так?
$x=d \beta$
$ \begin{pmatrix}1+x^2&2x\\2x&1+x^2\\\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1+3x^2&3x+x^3\\3x+x^3&1+3x^2\\\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1+6x^2+x^4&4x+4x^3\\4x+4x^3&1+6x^2+x^4\\\end{pmatrix},..$
А тут точно есть закономерность?

[provincialka]

Заметны биномиальные коэффициенты

[tech]

Действительно, для произведения $n$ матриц я получил:

$$\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}C_n^{2k}x^{2k}& \sum\limits_{k=1}^{[n/2]}C_n^{2k-1}x^{2k-1}\\\sum\limits_{k=1}^{[n/2]}C_n^{2k-1}x^{2k-1}&\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}C_n^{2k}x^{2k}\\\end{pmatrix}$$

Осталось только понять, что это.