Стеореметрия. Нет ли опечатки в задаче? Полное ли условие?

[Don-Don]

Сторона правильного треугольника $ABC$ равна $4$. Треугольник $DBC$ -- равнобедренный ($DB=DC$). Их плоскости взаимно перпендикулярны. Плоскость $ADC$ составляет с плоскостью $ABC$ угол $60^o$. Найдите площадь треугольника $DBC$.

Дело в том, что тут непросто построить линейный угол двугранного угла между плоскостями $ADC$ и $ABC$. В треугольнике $ABC$ высота $BH$ попадает в середину $AC$ (это один перпендикуляр к линии пересечения плоскостей). Вот проблема в том, что в треугольнике $ADC$ высота $DK$ не попадает в середину $AC$ (то есть не совпадает с точкой $H$), а попадает в какую-то левую точку, которую сложно идентифицировать. Как тут быть? Есть ли опечатка? Достаточно ли данных в задаче?

[provincialka]

Данных достаточно. Вспомните теорему о трех перпендикулярах. Высота $BH$ нам не нужна.

[Don-Don]

provincialka в сообщении #977476 писал(а):

Данных достаточно. Вспомните теорему о трех перпендикулярах. Высота $BH$ нам не нужна.

А как индентифицировать основание перпендикуляра, проведенного к линии пересечения из точки $D$?

[provincialka]

Именно по теореме о трех перпендикулярах. Опускайте перпендикуляр из точки $D$ на линию пересечения, то есть на прямую $AC$. Что будет проекцией полученного отрезка на плоскость $ABC$? Как раз по теореме!

[Don-Don]

provincialka в сообщении #977487 писал(а):

Именно по теореме о трех перпендикулярах. Опускайте перпендикуляр из точки $D$ на линию пересечения, то есть на прямую $AC$. Что будет проекцией полученного отрезка на плоскость $ABC$? Как раз по теореме!

$MH$, где $M$ -- середина $BC$, верно?

[provincialka]

Именно середина! А под $H$ вы что понимаете? Как ее построить?

[redicka]

Картинка в помощь.

[Don-Don]

Спасибо, теперь ясно.

Пусть $F$ основание перпендикуляра, опущеного из вершины $D$ на прямую $BC$.

Пусть $E$ основание перпендикуляра, опущеного из вершины $F$ на прямую $AC$.

Тогда $FE$ будет проекцией прямой $DE$ на плоскость $ABC$.

По теореме о трех перпендикулярах из $FE\perp AC$ будет следовать $DE\perp AC$

$\angle FED=60^o$ -- линейный угол двугранного угла между $ADC$ и $ABC$.

$AF=2\sqrt{3}$ по Пифагору

$S_{AFC}=0,5\cdot AF\cdot FC=0,5\cdot AC\cdot FE$

$AF\cdot FC= AC\cdot FE$

$FE=\dfrac{AF\cdot FC}{AC}=\dfrac{2\sqrt{3}\cdot 2}{ 4}=\sqrt{3}$

$DE=2\sqrt{3}$ (катет, лежащий против угла 30 градусов)

$DF=\sqrt{DE^2-FE^2}=\sqrt{12-3}=3$

$S_{DBC}=0,5\cdot DF\cdot BC=0,5\cdot 3\cdot 4=6$

Ответ: $6$

[provincialka]

Все верно

[Don-Don]

Спасибо, что помогли разобраться!