То, что числа имеют вид

очевидно. Только причем тут эллиптические кривые и теорема Зигмунда?
Пусть

для некоторого

. Тогда для

, обозначая

, мы сводим уравнение к конечному числу элиптических кривых вида:

где

и

, целые точки на которых можно явно вычислить (и их конечное число).
Теперь пусть

. Перепишем уравнение в виде

и рассмотрим последовательность

.
Согласно теореме Зигмунда, у каждого члена этой последовательности есть примитивный простой делитель (специальный случай

легко рассматривается отдельно). Но простые делители

, если и появляются у членов этой последовательности, то уже у членов с показателями не превосходящими

(заметим, что для простого

, если

- минимальное такое число, что

делится на

, то

делит

и поэтому

).
Поэтому у

примитивный простой делитель должен быть отличен от

, что противоречит нашему уравнению.
-- Thu Feb 12, 2015 12:01:24 --Кстати, мое доказательство для

по сути опирается на следующее следствие из теоремы Зигмунда:
Всякое число

для целых

и

,

, имеет простой делитель больший

.