2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение09.02.2015, 15:02 


10/09/14
284
Здравствуйте. Подскажите с чего начать вычисление интеграла вида $$\int\limits_1^\infty \frac {\arctg{\alpha x}}{x^2\sqrt {x^2-1}} dx$$
Дифференцирование по параметру не помогло, пробовал непосредственно интегрировать по частям, вот что получилось:
$$\int\limits_1^\infty \frac {\arctg{\alpha x}}{x^2\sqrt {x^2-1}} dx=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\arctg{\alpha x}\bigg|_1^\infty-\alpha \int\limits_1^\infty \frac{\sqrt{x^2-1}}{\alpha^2x^3+x} dx$$.
Получившийся интеграл элементарней особо не стал, вообще про интегралы зависящие от параметра в литературе очень мало примеров даётся, можете подсказать, какие методы используются в задачах подобного рода (как выше), ну кроме дифференцирования по параметру и непосредственному взятию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение09.02.2015, 15:09 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Икс внизу в нечётных степенях, поэтому $\sqrt{x^2-1}=t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение09.02.2015, 16:42 


10/09/14
284
Что-то интеграл тождественно равный нулю получается, вот выкладки:
После замены, находим новые пределы интегрирования:
$t_1=0, t_2=\infty$, поэтому
$$\alpha \int\limits_1^\infty \frac{\sqrt{x^2-1}}{\alpha^2x^3+x} dx=\frac{\alpha}{\alpha^2+1}\int \limits_0^\infty \frac{t^2-1+1}{(t^2-1)^2}dt=\frac{\alpha}{\alpha^2+1}\left( \int \limits_0^\infty \frac{dt}{t^2-1}+\int \limits_0^\infty \frac{dt}{(t^2-1)^2}\right)$$
Возьмем первый интеграл в скобках:
$$\int \limits_0^\infty \frac{dt}{t^2-1}=\frac {1} {2} \ln{\frac{t-1}{t+1}}\bigg|_0^\infty=0$$
Второй интеграл:
$$\int \limits_0^\infty \frac{dt}{(t^2-1)^2}\right)=\int \limits_0^\infty \left(\frac 1 2 \left (\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)\right)^2 dt=\frac 1 4 \left(\int \limits_0^\infty \frac {dt}{(t-1)^2}-2\int \limits_0^\infty \frac{dt}{t^2-1}+\int \limits_0^\infty  \frac{dt}{(t+1)^2}\right) $$
Все интегралы очевидно обращаются в нуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение09.02.2015, 16:57 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14478
Кронштадт
Viktor92 в сообщении #975884 писал(а):
Что-то интеграл тождественно равный нулю получается, вот выкладки:
После замены,
Выражение под первым же Вашим интегралом при $x \in (1,\infty)$ всегда положительно, следовательно, интеграл должен быть отличен от нуля. Ищите ошибку. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение09.02.2015, 18:45 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
И даже хуже того: уже это

Viktor92 в сообщении #975884 писал(а):
$$\alpha \int\limits_1^\infty \frac{\sqrt{x^2-1}}{\alpha^2x^3+x} dx=\frac{\alpha}{\alpha^2+1}\int \limits_0^\infty \frac{t^2-1+1}{(t^2-1)^2}dt$$

очевидно неверно, причём не один раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение09.02.2015, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Viktor92
А чем дифференцирование не устроило. Там такой же почти интеграл получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение10.02.2015, 15:32 


10/09/14
284
ex-math в сообщении #976037 писал(а):
Viktor92
А чем дифференцирование не устроило. Там такой же почти интеграл получается.

По началу тот интеграл показался сложнее, а вообще все вычисления выше довёл до конца, получилось $$\text{sgn} {\alpha} \frac \pi 2 (1+\lvert\alpha \rvert -\sqrt{\alpha^2+1})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение10.02.2015, 15:48 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Viktor92 в сообщении #976290 писал(а):
а вообще все вычисления выше довёл до конца, получилось $$\text{sgn} {\alpha} \frac \pi 2 (1+\lvert\alpha \rvert -\sqrt{\alpha^2+1})$$

Какой интеграл-то довели до конца?... Этот ответ не соответствует ни правильному, ни даже Вашему предыдущему интегралу, не говоря уж о том, что он не аналитичен в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение10.02.2015, 21:01 


10/09/14
284
ewert в сообщении #976299 писал(а):
Какой интеграл-то довели до конца?... Этот ответ не соответствует ни правильному, ни даже Вашему предыдущему интегралу, не говоря уж о том, что он не аналитичен в нуле.

Интеграл из первого поста, который после интегрирования по частям получился, а ответ у меня совпал с задачником.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл зависящий от параметра
Сообщение10.02.2015, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
ewert в сообщении #976299 писал(а):
он не аналитичен в нуле
С чего бы ему вдруг быть аналитичным? Он даже второй производной в нуле не имеет.
Viktor92
Ответ верный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group