Гравитационное поле движущегося массивного небесного тела

[schekn]

fizeg в сообщении #974551 писал(а):

В этом случае действительно нужно другое решение. Судя по всему именно этим Бурланков и занимался, но что либо он или SergeyGubanov без понимания обобщают на случай без "якоря". Однако даже в этом случае переход от одной системы отсчета к другой - это просто другой выбор координат.

Вообще говоря, прежде чем катить баллоны на Бурланкова и С. Губанова, вы бы почитали какие-нибудь классические труды. Я в данном вопросе далеко не все понимаю, но вы ошибаетесь сразу по нескольким вопросам.
Системы отсчета и система координат это разные вещи. Откройте "Гравитацию" Иваненко на стр. 23-26 и 66-71 ( я пару лет назад оцифровал эту книгу).
Эту связь можно установить искусственно, но это необязательно.
Кроме того различают абстрактный переход в другую СО и реализуемый физическими наблюдателями и приборами. Вы делаете упор на первый.
Но переход физическими телами несет информацию о свойствах СО.
Наконец , если тетрадные функции недифференцируемы, то многообразие меняется.

[Munin]

schekn в сообщении #976039 писал(а):

Я в данном вопросе далеко не все понимаю, но вы ошибаетесь сразу по нескольким вопросам.

Точнее будет сказать, что вы ничего не понимаете, а fizeg не ошибается.

schekn в сообщении #976039 писал(а):

Системы отсчета и система координат это разные вещи. Откройте "Гравитацию" Иваненко на стр. 23-26 и 66-71 ( я пару лет назад оцифровал эту книгу).

We all are well aware of that.

schekn в сообщении #976039 писал(а):

Наконец , если тетрадные функции недифференцируемы, то многообразие меняется.

[fizeg]

schekn в сообщении #976039 писал(а):

Наконец , если тетрадные функции недифференцируемы, то многообразие меняется.

Ну все, приехали И как читать классические труды надо, чтобы к такому выводу прийти, а?

Давайте так. У классических способов ввода "систем отсчета" есть в принципе две функции. Во-первых, она служит для того, чтобы удобнее описывать "как себя чувствует космонавт", т.е. локальную физику в окрестности точки на мировой линии. Для этого реперы прекрасны.

Но есть и другая функция, как раз из-за которой здесь сыр-бор. Это удобное для конкретного наблюдателя описание физики глобально. Как раз здесь и возникает вопрос об относительном движении. Функция это выполняется именно системой координат и реперы здесь играют роль в той мере, в которой мы связываем их с координатами. Не фиксируя связь координат с реперами, вы сколько их вращать не будете, ничего в этом плане не добьетесь. Связь вводите (как это по умолчанию делается в СТО) то в общем-то просто делаете переход к другим координатам.

Реально делается как. Вы двигаете каким-то образом лабораторию с "хорошими приборами". Потом вы подстраиваете всякие координаты, реперы и прочее так, чтобы связать их с обычной интерпретацией данных приборов. Например я ввожу время таким образом, чтобы оно соответствовало показаниям чего-то, называемого "часами". Но все это в значительной мере произвольно, особенно в том, что касается функции №2. А самое главное, здесь нет каких-то реальных проблем, над которыми надо ломать голову. Это лишь вопрос описания. Реальные вопросы бывают именно в понимании, что творится в лаборатории, но это я должен иметь возможность делать вне зависимости от координат, реперов и прочего.

-- 10.02.2015, 01:02 --

fizeg в сообщении #975967 писал(а):

А черная дыра в системе отсчета ракеты движется или стоит?

Мне собственно хотелось услышать ответ топикстартера на этот вопрос, потому что как он это вообще смыслом наделит, я себе представляю плохо

[Munin]

fizeg в сообщении #976068 писал(а):

Реально делается как. Вы двигаете каким-то образом лабораторию с "хорошими приборами". Потом вы подстраиваете всякие координаты, реперы и прочее так, чтобы связать их с обычной интерпретацией данных приборов. Например я ввожу время таким образом, чтобы оно соответствовало показаниям чего-то, называемого "часами".

+ Можно и иначе: на всё это наплевать, и просто записать отдельно на бумажке: чтобы получить показания чего-то, надо выразить его из координат таким-то и таким-то образом.

[fizeg]

Munin
Ну, не все так просто бывает. Про перепалки, будет видно излучение Унру или нет, слышали? Это можно делать легко, когда все понято хорошо, как это в классической ОТО.

[schekn]

fizeg в сообщении #976068 писал(а):

А самое главное, здесь нет каких-то реальных проблем, над которыми надо ломать голову. Это лишь вопрос описания. Реальные вопросы бывают именно в понимании, что творится в лаборатории, но это я должен иметь возможность делать вне зависимости от координат, реперов и прочего.

И все таки посмотрите указанные страницы. Там четко прописаны утверждения, которые противоречат вашим.
Впрочем, если мы рассматриваем классическое ОТО, то непонятно зачем привлекать тетрады.

-- 10.02.2015, 04:35 --

Munin в сообщении #976067 писал(а):

Точнее будет сказать, что вы ничего не понимаете, а fizeg не ошибается.

Вам процитировать , или сами найдете противоречия с его высказываниями?

[fizeg]

Вперед, выдавайте противоречия Хотя какой смысл в такой "дискуссии", понятия не имею.

schekn в сообщении #976144 писал(а):

Впрочем, если мы рассматриваем классическое ОТО, то непонятно зачем привлекать тетрады.

Простите, а вы уверены, что вы ЧИТАЛИ ваш священный текст?

-- 10.02.2015, 11:38 --

fizeg в сообщении #976072 писал(а):

Это можно делать легко, когда все понято хорошо, как это в классической ОТО.

Да. Это не следует трактовать, как "В КТП никто ничего не понимает", а как "В классической ОТО все элементарно. В других случаях, не совсем."

[SergeyGubanov]

Я придумал безкоординатное доказательство того, что в системе отсчёта с голономной дифференциальной формой времени

$$\partial_{\mu} e^{\bf (0)}_{\nu} - \partial_{\nu} e^{\bf (0)}_{\mu} = 0$$

выполняется половина первого закона Ньютона.

Пусть есть поле 4-скоростей $u^{\mu}$:

$$u^{\mu} u_{\mu} = 1$$

Дифференцируя это выражение получаем

$$(\nabla_{\nu} u^{\mu}) u_{\mu} + u^{\mu} (\nabla_{\nu} u_{\mu}) = 0$$

Воспользуемся тем, что ковариантная производная от метрики равна нулю. Во втором слагаемом у $u^{\mu}$ индекс $\mu$ опустим, а у $u_{\mu}$ поднимем. Второе слагаемое будет равно первому, значит для любого поля 4-скоростей справедливо тождество:

$$(\nabla_{\nu} u^{\mu}) u_{\mu} = 0$$

Поле 4-скоростей определяет мировые линии движущихся тел

$$\frac{d x^{\mu}(s)}{ds} = u^{\mu}(x(s))$$

Тело движущееся по мировой линии $x^{\mu}(s)$ испытывает 4-ускорение:

$$w^{\mu}(s) = \frac{d^2 x^{\mu}(s)}{ds^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \frac{d x^{\alpha}(s)}{ds} \frac{d x^{\beta}(s)}{ds}$$

Подобно полю 4-скоростей можно ввести и поле 4-ускорения:

$$w^{\mu} = u^{\nu} \, \nabla_{\nu} u^{\mu}$$

В том случае когда поле 4-скоростей $u^{\mu}$ безвихревое:

$$\partial_{\mu} u_{\nu} - \partial_{\nu} u_{\mu} = \nabla_{\mu} u_{\nu} - \nabla_{\nu} u_{\mu} = 0$$

поле 4-ускорения оказывается нулевым в силу доказанного ранее тождества:

$$w_{\mu} = u^{\nu} ( \nabla_{\nu} u_{\mu} ) = u^{\nu} ( \nabla_{\mu} u_{\nu} ) = 0$$

Раз 4-ускорение нулевое, значит пробные тела движутся по инерции, а значит неподвижные тела так и остаются неподвижными покуда на них не повлияет какая-то внешняя (негравитационная) сила.

Таким образом в системе отсчёта с голономной дифференциальной формой времени $d e^{\bf (0)} = 0$ поле 4-ускорения оказывается нулевым и, как следствие, выполняется половина первого закона Ньютона.

fizeg в сообщении #975967 писал(а):

А черная дыра в системе отсчета ракеты движется или стоит?

Можно подумать за этим вопросом скрывается потрясающая воображение интрига. Конечно движется, со скоростью равной по абсолютной величине, но противоположной по знаку.

Тела неподвижные относительно системы отсчёта $e^{\mu}_{(a)}$ имеют мировые линии определяемые следующим уравнением:

$$ \frac{d x^{\mu}(s)}{ds} = e^{\mu}_{\bf (0)}(x(s)), $$

другими словами векторное поле $e^{\mu}_{\bf (0)}(x)$ есть поле 4-скоростей.

Проекции скоростей тел на орты той системы отсчёта в которой они неподвижны:

$$ u^{(a)} = e_{\mu}^{(a)} \, e^{\mu}_{\bf (0)} = \{1, 0, 0, 0 \}, $$

всё верно, тела относительно самих себя покоятся.

Пусть теперь есть две системы отсчёта $e^{\mu}_{(a)}$ и $\tilde{e}^{\mu}_{(a)}$ связанные друг с другом локальным Лоренцевским бустом со скоростью $v(x)$ в плоскости $e^{(0)} \wedge e^{(1)}$. Тогда скорость движения тел второй системы относительно первой и, наоборот, скорость движения тел первой системы относительно второй, таковы:

$$ u^{(a)}_{+} = e^{(a)}_{\mu} \, \tilde{e}^{\mu}_{\bf (0)} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2(x)}} \{1, +v(x), 0, 0 \} $$

$$ u^{(a)}_{-} = \tilde{e}^{(a)}_{\mu} \, e^{\mu}_{\bf (0)} = \frac{1}{\sqrt{1-v^2(x)}} \{1, -v(x), 0, 0 \} $$

Трёхмерные компоненты скоростей равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

epros в сообщении #976031 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #975957 писал(а):

Здесь две функции $f(x - t)$ и $h(x - t)$ удовлетворяют одному уравнению:

$$f'^2 = h'' - h'^2$$

Это зачем?

Это уравнения ОТО.

epros в сообщении #976031 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #975957 писал(а):

Система покоя

$$e^{(0)} = dt, \quad e^{(1)} = dx, \quad e^{(2)} = e^{f-h}dy, \quad e^{(3)} = e^{-f-h}dz$$

Я не понимаю этой терминологии. С моей точки зрения здесь определён голономный базис, который есть у любых координат. Поэтому дальше пока не читаю.

Подтягивайтесь. Здесь записана система отсчёта, она же тетрада, она же репер $e_{(a)} = e_{(a)}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ или корепер $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} dx^{\mu}$. В данном случае корепер. Выписанный корепер неголономный по дифференциальным формам $e^{(2)}$ и $e^{(3)}$:

$$d e^{(0)} = 0,$$

$$d e^{(1)} = 0,$$

$$d e^{(2)} = e^{f-h}(f'-h')(dx \wedge dy - dt \wedge dy),$$

$$\quad d e^{(3)} = e^{-f-h}(-f'-h')(dx \wedge dz - dt \wedge dz)$$

epros в сообщении #976031 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #975957 писал(а):

Чем быстрее будет лететь ракета с постоянной скоростью $v$ вдоль оси $z$ (это по версии неподвижной системы) с горе космонавтом на борту, тем сильнее её будет трясти.

Лень проверять побуквенно, но то, что это неправда -- очевидно. Причина проста: Переменная часть метрики заключена в $g_{22}$ и $g_{33}$, которые при преобразованиях $x^0$ и $x^1$ не меняются, а эффекты кривизны определяются вторыми производными метрики по координатам. А вторые производные уж по времени-то по крайней мере становятся меньше, ибо частота при движении в направлении волны в силу эффекта Допплера уменьшается.

Боюсь Вы немножечко не заметили, что ракета движется с постоянной скоростью вдоль оси $z$, а вовсе не вдоль оси $x$.

epros в сообщении #976031 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #975957 писал(а):

Систему отсчёта с голономной дифференциальной формой времени $e^{(0)} = dt$ можно ввести если метрика пространства событий допускает приведение к АДМ виду с единичной $g^{0 0} = 1$:

$$ds^2 = dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i \, dt \right) \left( dx^j - V^j \, dt \right)$$

Как отсюда увидеть, что $g^{0 0} = 1$? И Вы уверены, что индексы должны быть верхними?

Прямым вычислением. Уверен. Это широко известное представление метрики в форме АДМ (Арновитта, Дезера, Мизнера) в котором функция хода времени положена равной единице. Спросите об этом любого специалиста по ОТО, он Вам подтвердит.

Связь трёхмерных полей $\gamma_{i j}$, $V^i$ с компонентами 4-мерного метрического тензора:

$$ g_{0 0} = 1 - \gamma_{i j} V^i V^j, \quad g_{0 i} = \gamma_{i j} V^j, \quad g_{i j} = - \gamma_{i j}, $$

$$ g^{0 0} = 1, \quad g^{0 i} = V^i, \quad g^{i j} = V^i V^j - \gamma^{i j}, $$

$$\sqrt{-g} = \sqrt{\gamma}. $$

Представление АДМ с единичной функцией хода времени является частным случаем кросс-произведения двух многообразий. Если в двух словах, то кросс-произведение это следующая штука. Пусть есть Риманово многообразие $T$ с метрикой $d \ell^2 = h_{a b}(t) \, dt^a dt^b$ и другое Риманово многообразие $M$ с метрикой $d \ell^2 = \gamma_{i j}(x) \, d x^i d x^j$. Прямое произведение $T$ на $M$ дало бы пространство с метрикой

$$ ds^2 = C_1 \, h_{a b}(t) \, dt^a dt^b + C_2 \, \gamma_{i j}(x) \, d x^i d x^j, \quad C_1 = \operatorname{const}, \quad C_2 = \operatorname{const}, $$

а кросс-произведение $T$ на $M$ даёт кросс-пространство (пространство с кросс-геометрией):

$$ ds^2 = C_1 \, h_{a b}(t) \, dt^a dt^b + C_2 \, \gamma_{i j}(x, t) \left( d x^i - V^i_a dt^a \right) \left( d x^j -V^j_a dt^a \right), $$

здесь $V^i_a(x, t)$ -- кросс-поле. Оно калибровочное. Ему можно сопоставить кросс-кривизну (если размерность $T$ равна единице, то кросс-кривизна равна нулю). Кросс-пространство конечно же можно рассматривать как обычное Риманово пространство, но такое рассмотрение будет более грубым, поскольку не учитывает, что перед нами не общий, а частный случай Риманова пространства обладающий специфическими симметриями, отсутствующими в общем случае.

epros в сообщении #976031 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #975957 писал(а):

являются свободно падающими, то есть движутся по геодезическим. Замечательной особенностью таких свободно падающих частиц является то, что их собственное время

$$ds = dt$$

Ах, так Вы хотите привязать координаты к инерциальному телу отсчёта и определить координату времени равной собственному времени? Так в любом пространстве-времени таких координат можно построить сколько угодно. Разных.

Система отсчёта задаётся четырьмя векторными полями $e^{\mu}_{(a)}(x)$, а то что вы сейчас описали задаётся одной мировой линией $x^{\mu}(s)$. Понимаете какая огромная разница между этими вещами?

epros в сообщении #976031 писал(а):

Никаких выделенных координат такого рода ни при какой кривизне не существует.

У меня такое ощущение, что Вы сюда не разобраться пришли, а бесов изгонять.

Munin в сообщении #975964 писал(а):

Это чтобы смотреть, как вы не справились Шварцшильда побустить, о чём и заявили во всеуслышание? Ну так это уже произошло.

Наоборот, это Вы допустили грубую ошибку предложив сделать преобразование координат вместо того чтобы выполнить локальный Лоренцевский буст тетрады. Уже забыли? Так у нас все ходы записаны. Посмотрите головное сообщение этой ветки.

[fizeg]

Ок, без интриг. Теперь ракета стоит, а черная дыра движется. Теперь решение принципиально отличное от Шварцшильда?

[KVV]

schekn в сообщении #976039 писал(а):

Наконец , если тетрадные функции недифференцируемы, то многообразие меняется.

Пруф будет?

[SergeyGubanov]

fizeg в сообщении #976355 писал(а):

Ок, без интриг. Теперь ракета стоит, а черная дыра движется. Теперь решение принципиально отличное от Шварцшильда?

Так а где решение-то?

Рассмотрим два многообразия $M_1$ и $M_2$. Многообразие $M_1$ пусть будет что-то вроде $T \otimes S_3$ на которое посажена чёрная дыра покоящаяся относительно "фоновой" $S_3$. А многообразие $M_2$ пусть будет что-то вроде $T \otimes S_3$ на которое посажена чёрная дыра движущаяся относительно "фоновой" $S_3$. Как в многообразии $M_1$ так и в многообразии $M_2$ летают ракеты относительно соответствующих чёрных дыр. Относительно каждой из ракет соответствующая чёрная дыра движется. Даже в $M_1$!!! Даже в $M_1$ чёрная дыра движется относительно ракеты, но вот относительно "фоновой" $S_3$ чёрная дыра всё же остаётся неподвижной, что и делает многообразия $M_1$ и $M_2$ совершенно разными. "Фоновая" $S_3$ здесь взята лишь для примера, чтобы разница была совершенно очевидна. Если вместо $S_3$ взять какое-либо другое "фоновое" пространство общего вида (общего вида - в смысле без особых симметрий), то ничего в принципе в данном рассуждении не изменится. Вместо $S_3$ можно даже взять Евклидово пространство чуть-чуть подпорченное "хаотическими" микроискривлениями (возможно на субатомном уровне).

[schekn]

fizeg в сообщении #974551 писал(а):

1). Выбор системы отсчета - штука вольная и представляет из себя просто формальное переписывание модели в более удобном для рассмотрения "точки зрения наблюдателя" виде, другим выбором координат и иногда некоторыми другими преобразованиями. По желанию они могут включать вращение реперов, преобразования Боголюбова для частиц на этом фоне в КТП итп. Само решение при этом остается абсолютно тем же самым, просто смотрим мы на него по-другому.

fizeg в сообщении #973675 писал(а):

Менять систему отсчета, значит менять используемые координаты

fizeg в сообщении #974551 писал(а):

Однако даже в этом случае переход от одной системы отсчета к другой - это просто другой выбор координат.

"Гравитация" (И-С) стр. 24.
"Как связаны между собой система отсчета и система координат? Вообще говоря, никак. Выбор базиса касательного пространства - системы отсчета - и выбор системы координат сами по себе не зависят друг от друга Но эту зависимость можно установить , что называется, руками , если потребовать , чтобы система отсчета была голономной...."

стр. 24:
"Как и локальная система отсчета , глобальная система отсчета $\psi$ касательного расслоения $T(X) $- не коррелирует с выбором системы координат - атласа $\psi_{x}$ многообразия $X$, если не требовать специально, чтобы атлас $\psi$ был голономным... Это важно подчеркнуть , поскольку различие между СО и СК часто игнорируют".

стр. 66
" ...задание такого репера трактуется как задание системы отсчета в точке $x$ ".

И еще где-то было у fizega про то, что переход в другую СО это всегда абстрактная вещь (как-то так, не смог найти цитату).

стр. 65:
" Требование инвариантности относительно изменений системы отсчета кажется вполне естественным и даже тривиальным , тогда как инвариантность при преобразовании самой физической системы , несомненно несет информацию о ее свойствах. Но дело в том, что преобразования обоих родов связаны между собой , поскольку выбор и преобразования системы отсчета - это выбор и преобразование определенного базисного набора физических объектов , с которым сравниваются все другие объекты, составляющие данную физическую систему. Поэтому, хотя сам принцип инвариантности относительно изменений системы отсчета
и можно считать само собой разумеющимся, но конкретный вид этих преобразований является важной характеристикой физической системы...."

стр. 67.
"Задание гравитационного поля тетрадными функциями фактически реализует идею А. Эйнштейна, высказанную им в дискуссии с Абрагамом, что гравитацию можно описывать как необходимый переход от инерциальных систем отсчета к неинтегрируемым неинерциальным СО. Действительно поля $h_{\mu}^{a} $ представляют собой матрицы нелоренцевых преобразований , т.е. их можно интерпретировать как переход от СО , где $g=\eta$ , к неинерциальной СО. Причем , если пространство-время неплоское, этот переход неинтегрируем..."

И вообще я хотел задать в этой теме один вопрос Губанову, а зачем -то полез искать у Вас противоречия с литературой.

[Geen]

А какое отношение $S_3$ имеет к "Шварцшильду"?
Или может у Вас есть решение для чёрной дыры в $T\otimes S_3$??

[SergeyGubanov]

Geen в сообщении #976371 писал(а):

А какое отношение $S_3$ имеет к "Шварцшильду"?
Или может у Вас есть решение для чёрной дыры в $T\otimes S_3$??

А Вы вот это прочитали:

SergeyGubanov в сообщении #976368 писал(а):

"Фоновая" $S_3$ здесь взята лишь для примера, чтобы разница была совершенно очевидна. Если вместо $S_3$ взять какое-либо другое "фоновое" пространство общего вида (общего вида - в смысле без особых симметрий), то ничего в принципе в данном рассуждении не изменится. Вместо $S_3$ можно даже взять Евклидово пространство чуть-чуть подпорченное "хаотическими" микроискривлениями (возможно на субатомном уровне).

Берём пространство Минковского и портим его хаотическими микроискривлениями на субатомном уровне. В таком случае разница между покоящейся/движущейся относительно фона чёрной дырой Вам очевидна?

[fizeg]

SergeyGubanov
Вы умничаете, когда речь про дыру в $R^4$, а как надо обосновывать бежите в $T\cross S^3$ и фантазии про микроискривления, которыми в исходной задаче и не пахнет. Кончайте уже этот фарс.