Я придумал безкоординатное доказательство того, что в системе отсчёта с голономной дифференциальной формой времени
выполняется половина первого закона Ньютона.
Пусть есть поле 4-скоростей
:
Дифференцируя это выражение получаем
Воспользуемся тем, что ковариантная производная от метрики равна нулю. Во втором слагаемом у
индекс
опустим, а у
поднимем. Второе слагаемое будет равно первому, значит для любого поля 4-скоростей справедливо тождество:
Поле 4-скоростей определяет мировые линии движущихся тел
Тело движущееся по мировой линии
испытывает 4-ускорение:
Подобно полю 4-скоростей можно ввести и поле 4-ускорения:
В том случае когда поле 4-скоростей
безвихревое:
поле 4-ускорения оказывается нулевым в силу доказанного ранее тождества:
Раз 4-ускорение нулевое, значит пробные тела движутся по инерции, а значит неподвижные тела так и остаются неподвижными покуда на них не повлияет какая-то внешняя (негравитационная) сила.
Таким образом в системе отсчёта с голономной дифференциальной формой времени
поле 4-ускорения оказывается нулевым и, как следствие, выполняется половина первого закона Ньютона.
А черная дыра в системе отсчета ракеты движется или стоит?
Можно подумать за этим вопросом скрывается потрясающая воображение интрига. Конечно движется, со скоростью равной по абсолютной величине, но противоположной по знаку.
Тела неподвижные относительно системы отсчёта
имеют мировые линии определяемые следующим уравнением:
другими словами векторное поле
есть поле 4-скоростей.
Проекции скоростей тел на орты той системы отсчёта в которой они неподвижны:
всё верно, тела относительно самих себя покоятся.
Пусть теперь есть две системы отсчёта
и
связанные друг с другом локальным Лоренцевским бустом со скоростью
в плоскости
. Тогда скорость движения тел второй системы относительно первой и, наоборот, скорость движения тел первой системы относительно второй, таковы:
Трёхмерные компоненты скоростей равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Здесь две функции
и
удовлетворяют одному уравнению:
Это зачем?
Это уравнения ОТО.
Система покоя
Я не понимаю этой терминологии. С моей точки зрения здесь определён голономный базис, который есть у любых координат. Поэтому дальше пока не читаю.
Подтягивайтесь. Здесь записана система отсчёта, она же тетрада, она же репер
или корепер
. В данном случае корепер. Выписанный корепер неголономный по дифференциальным формам
и
:
Чем быстрее будет лететь ракета с постоянной скоростью
вдоль оси
(это по версии неподвижной системы) с горе космонавтом на борту, тем сильнее её будет трясти.
Лень проверять побуквенно, но то, что это неправда -- очевидно. Причина проста: Переменная часть метрики заключена в
и
, которые при преобразованиях
и
не меняются, а эффекты кривизны определяются вторыми производными метрики по координатам. А вторые производные уж по времени-то по крайней мере становятся меньше, ибо частота при движении в направлении волны в силу эффекта Допплера уменьшается.
Боюсь Вы немножечко не заметили, что ракета движется с постоянной скоростью вдоль оси
, а вовсе не вдоль оси
.
Систему отсчёта с голономной дифференциальной формой времени
можно ввести если метрика пространства событий допускает приведение к АДМ виду с единичной
:
Как отсюда увидеть, что
? И Вы уверены, что индексы должны быть верхними?
Прямым вычислением. Уверен. Это широко известное представление метрики в форме АДМ (Арновитта, Дезера, Мизнера) в котором функция хода времени положена равной единице. Спросите об этом любого специалиста по ОТО, он Вам подтвердит.
Связь трёхмерных полей
,
с компонентами 4-мерного метрического тензора:
Представление АДМ с единичной функцией хода времени является частным случаем
кросс-произведения двух многообразий. Если в двух словах, то кросс-произведение это следующая штука. Пусть есть Риманово многообразие
с метрикой
и другое Риманово многообразие
с метрикой
. Прямое произведение
на
дало бы пространство с метрикой
а кросс-произведение
на
даёт кросс-пространство (пространство с кросс-геометрией):
здесь
-- кросс-поле. Оно калибровочное. Ему можно сопоставить кросс-кривизну (если размерность
равна единице, то кросс-кривизна равна нулю). Кросс-пространство конечно же можно рассматривать как обычное Риманово пространство, но такое рассмотрение будет более грубым, поскольку не учитывает, что перед нами не общий, а частный случай Риманова пространства обладающий специфическими симметриями, отсутствующими в общем случае.
являются свободно падающими, то есть движутся по геодезическим. Замечательной особенностью таких свободно падающих частиц является то, что их собственное время
Ах, так Вы хотите привязать координаты к инерциальному телу отсчёта и определить координату времени равной собственному времени? Так в любом пространстве-времени таких координат можно построить сколько угодно. Разных.
Система отсчёта задаётся
четырьмя векторными полями , а то что вы сейчас описали задаётся одной мировой линией
. Понимаете какая огромная разница между этими вещами?
Никаких выделенных координат такого рода ни при какой кривизне не существует.
У меня такое ощущение, что Вы сюда не разобраться пришли, а бесов изгонять.
Это чтобы смотреть, как вы не справились Шварцшильда побустить, о чём и заявили во всеуслышание? Ну так это уже произошло.
Наоборот, это Вы допустили грубую ошибку предложив сделать преобразование координат вместо того чтобы выполнить локальный Лоренцевский буст тетрады. Уже забыли? Так у нас все ходы записаны. Посмотрите головное сообщение этой ветки.