О множестве непересекающихся множеств в ZF(C)

[alex_dorin]

Здравствуйте !

Можно ли без противоречия добавить к ZF(C) новую аксиому с утверждением , что всякое множество -
есть множество непересекающихся множеств ?
На первый взгляд никаких противоречий возникнуть не должно.

C уважением
А. Дорин

[takeover]

Противоречит аксиоме бесконечности.

[AGu]

Простейшим примером множества, состоящего из пересекающихся множеств, служит множество $\Bigl\{\{\varnothing\},\bigl\{\varnothing,\{\varnothing\}\bigr\}\Bigr\}$, существование которого, как легко видеть, доказуемо в ZF. Ну а раз в ZF доказуемо отрицание рассмотренного утверждения, присоединение его к ZF даст противоречивую теорию.

[alex_dorin]

Таким образом, по крайней мере, есть противоречие с аксиомой множества-степени.
AGu, спасибо !

[alex_dorin]

утончение, если убрать аксиому существования пустого множества нет противоречия c аксиомой бесконечности и с
аксиомой существования множества-степени.

[AGu]

Существование пустого множества вытекает из остальных аксиом ZF.
(Об этом можно почитать, например, в Википедии.)

[Xaositect]

А при чем тут аксиома степени? Тут же только аксиома пары нужна. И пустое множество тоже не важно, если существует множество $x$ такое, что $x\neq \{x\}$, то $\{\{x\},\{x, \{x\}\} \}$ - множество пересекающихся множеств.

[AGu]

Существование пары вытекает из остальных аксиом ZF.
(Об этом можно почитать, например, в Википедии.)

[alex_dorin]

Как я понял из указанной AGu статьи в википедии, аксиома существования пустого множества
следует из аксиомы выделения, которая входит в ZF(C).
Аксиома выделения может быть записана полно только в логике 2-го порядка.
Мое утверждение о возможности присоединения в качестве аксиомы утверждения , что все множества -
это множества непересекающихся множеств не делает систему противоречивой с условием удаления
аксиомы существования пустого множества (и тех вариантов (схем) записи аксиомы выделения в логике 1-го порядка,
которые доставляют существование пустого множества).

[AGu]

alex_dorin в сообщении #975395 писал(а):

удаления аксиомы существования пустого множества
(и тех вариантов (схем) записи аксиомы выделения в логике 1-го порядка,
которые доставляют существование пустого множества).

Увы, совершенно не понятно, какие именно аксиомы придется удалить для устранения противоречия. Ответить на этот вопрос крайне трудно (и в определенном смысле вообще невозможно — с учетом теоремы Гёделя). Как бы то ни было, ясно, что ради устранения противоречия с рассматриваемой «новой аксиомой» теория множеств должна быть очень сильно урезана.

[alex_dorin]

Конечно, однозначности здесь нет.
Могу только сказать ,что противоречие не доставляет аксиомы :
пары, множества-степени, объединения, бесконечности
пока как-либо не появится аксиома существования пустого множества.
из-за аксиомы подстановки все осложняется.

[arseniiv]

alex_dorin, а зачем вам нужно, чтобы элементы множеств не пересекались?

[Someone]

alex_dorin в сообщении #974949 писал(а):

Можно ли без противоречия добавить к ZF(C) новую аксиому с утверждением , что всякое множество -
есть множество непересекающихся множеств ?

alex_dorin в сообщении #975416 писал(а):

Могу только сказать ,что противоречие не доставляет аксиомы :
пары, множества-степени, объединения, бесконечности
пока как-либо не появится аксиома существования пустого множества.

Если в Вашей теории обнаружится множество, содержащее больше одного элемента, то их пересечение тут же окажется пустым множеством.

[Lia]

Sunny_Phoenix заблокирован как злостный клон. Дискуссия с ним удалена из темы.

[alex_dorin]

Дальнейшей проверкой я установил, что присоединение указанной аксиомы к ZF(C) делает
ее опровержимой на конечной модели, даже когда не используется аксиома подстановки.