Задача по ЛВП (упрощение доказательства)

[red_alert]

Прошу сообщество помочь упростить решение следующей задачи (точнее, подзадачи, возникающей в другом доказательстве).

Пусть $X$ - ЛВП несчетной размерности с базисом Гамеля $\{e_i: i \in I\}$. Положим $X^+ := \{x \in X : \forall i \in I\;x(i) \ge 0\}$, $C := \{x \in X : \sum \limits_{i \in I} \sqrt{x(i)} \ge 1\}$, $D := \{x \in X : \sum \limits_{i \in I} x(i) \le 1\}$, $B := X^+ \cap C \cap D$. Нужно доказать, что $0 \in cl B$.

Доказательство следующее. Возьмем произвольную окрестность нуля $U$ и проверим, что $U \cap B \ne \varnothing$.

Положим $I_n := \{i \in I: \frac{1}{n} e_i \in U\}$. Так как $U$ - поглощающее множество, то $\forall i \in I\;\exists n \in \mathbb{N}: \frac{1}{n} e_i \in U$. Поэтому $\bigcup \limits_{n=1}^\infty I_n = I$.

Так как $|I|$ несчетно, то $\exists n \in \mathbb{N}: |I_n| = \infty$. Зафиксируем это $n$ и возьмем какое-нибудь $J \subset I_n: |J| = n$. Положим $x := \frac{1}{n^2} \sum \limits_{j \in J} e_j$.

1) Поскольку $X$ - ЛВП, можно считать, что $U$ выпукло. Тогда $x = \frac{1}{n} \sum \limits_{j \in J} \frac{1}{n} e_j \in U$ как выпуклая комбинация элементов $U$.

2) По определению $x \in X^+$.

3) Так как $\sum \limits_{i \in I} \sqrt{x(i)} = \frac{1}{n} \sum \limits_{j \in J} 1 = \frac{1}{n} \cdot n = 1 \ge 1$, то $x \in C$.

4) Так как $\sum \limits_{i \in I} x(i) = \frac{1}{n^2} \sum \limits_{j \in J} 1 = \frac{1}{n^2} \cdot n = \frac{1}{n} \le 1$, то $x \in D$.

Таким образом, $x \in U \cap X^+ \cap C \cap D = U \cap B$.

В научной статье предпочтительно сослаться на уже доказанные факты. А именно, известно, что в случае несчетной размерности пространства сильнейшая векторная топология на нем не является локально выпуклой. Это следует из того, что множество $\{x \in X : \sum \limits_{i \in I} \sqrt{x(i)} < 1\}$ (в наших обозначениях $X \setminus C$) является окрестностью нуля в сильнейшей векторной топологии, но не содержит ни одного выпуклого поглощающего множества.

Идея упрощения доказательства следующая: раз $X \setminus C$ не является окрестностью нуля (в топологии $X$), то любая окрестность нуля будет пересекаться с $C$, то есть $0 \in cl C$. Можно ли каким-то образом получить отсюда, что $0 \in cl B$?

[odelschwank]

Вроде легко получить $0 \in cl (C \cap D)$ (т.к. $D$ - выпуклое поглощающее). Как с $X^+$ быть непонятно.