Задача Коши для ДУ (интересный пример НЕединственности)

[незваный гость]

Это классический пример бесконечно дифференцируемой функции, неразложимой в ряд Тейлора. Точнее, $y(x) = e^{-\frac1{x^2}} \ \forall x \not= 0, y(0) = 0$.

Все производные этой функции в 0 равны 0. Это позволяет строить на её основе всяческие бесконечно-гладкие функции с константными значениями на нужных отрезках (и не только).

[serpav]

Решение задачи Коши должно удовлетворять уравнению и начальным условиям.
Пример функции, которую вы приводите:

$$y(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant 0 \\e^{-1/x^2}, & x>0 \end{cases}$$

удовлетворяет начальным условиям, но не удовлетворяет самому уравнению, поскольку константа С у вас будет не постоянной, а кусочно-постоянной функцией:

$$C(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant 0 \\1, & x>0 \end{cases}$$

.
Таким образом ваш пример запишется в виде

$$ y(x)=H(x)e^{-1/x^2}$$

,
где $H(x)$ - функция Хевисайда, и при дефферинциировании такой функции получим $\delta$-функцию Дирака.
В вашем ДУ есть особая точка (0,0). В ней действительно будет множество решений, поскольку условия теоремы о существовании и единственности нарушаются. Во всех остальных случаях решение существует и оно единственно.

[Профессор Снэйп]

serpav писал(а):

Решение задачи Коши должно удовлетворять уравнению и начальным условиям.
Пример функции, которую вы приводите:

$$y(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant 0 \\e^{-1/x^2}, & x>0 \end{cases}$$

удовлетворяет начальным условиям, но не удовлетворяет самому уравнению...

Вы не правы. Эта функция удовлетворяет уравнению. Все ваши дальнейшие измышления не имеют никакого отношения к задаче. Функция Хевисайда тут совершенно не при чём.

[worm2]

Более простой пример: неопределённым интегралом $\int\frac{dx}{x}$ является не однопараметрическое семейство функций ln |x| + C, а двухпараметрическое семейство функций, равных ln (-x) + C при x < 0 и ln x + D при x > 0, где C и D - произвольные независимые константы. Правда, пример несколько дефектен: первообразные здесь не являются непрерывными...

[serpav]

Профессор Снэйп писал(а):

Вы не правы. Эта функция удовлетворяет уравнению. Все ваши дальнейшие измышления не имеют никакого отношения к задаче. Функция Хевисайда тут совершенно не при чём.

Семейство решений вашего ДУ имеет вид
$y(x)=Ce^{-1/x^2}$.
Чтобы получить частное решение нужно константе С придать конкретное значение. Вы же ваш пример сшили из двух кусков разных частных решений. Чтобы описать такую функцию единым выражением (сшить ее) нужна именно функция Хевисайда. Куски вашего примера действительно удовлетворяют ДУ, но что происходит с такой функцией в точке x=0 вас мало беспокоит. А в этой точке константа в вашем примере делает резкий прыжок от 0 до 1.
Ваш пример можна запись еще и в таком виде

$$ y(x) = \begin{cases} Ce^{-1/x^2}, C=0, & x \leqslant 0 \\ Ce^{-1/x^2}, C=1,& x > 0 \end{cases} $$

Или же в таком
$y(x)=C(x)e^{-1/x^2}$,
где

$$C(x) = \begin{cases} 0, & x \leqslant 0 \\ 1,& x > 0 \end{cases}$$

А последняя это и есть функция Хевисайда, если вы не поняли при чем она здесь.
Одним словом ваш пример не является частным решением данного ДУ, а является сшивкой из кусков разных частных решений, и он в точке сшивания не удовлетворяет ДУ.

[Профессор Снэйп]

serpav писал(а):

Одним словом ваш пример не является частным решением данного ДУ, а является сшивкой из кусков разных частных решений, и он в точке сшивания не удовлетворяет ДУ.

Ещё раз повторяю: мой пример является решением ДУ, он удовлетворяет этому уравнению во всех точках действительной прямой. Ваш бред про функцию Хевисайда никакого отношения к задаче не имеет.

Мне Вы, похоже, не верите, а я даже не знаю, как опровергать всю ту пургу, что Вы несёте. Обращаюсь за поддержкой к другим участникам форума. Скажите человеку, что я прав.

[Алексей К.]

serpav писал(а):

Пример функции, которую вы приводите:

$$y(x)=\begin{cases}0,&x\leqslant 0 \\e^{-1/x^2}, & x>0 \end{cases}$$

удовлетворяет начальным условиям, но не удовлетворяет самому уравнению, поскольку константа С у вас будет не постоянной, а кусочно-постоянной функцией:

Никакой константы в уравнении не было. Была комбинация функции, её производной и аргумента. Приведённая функция $y(x)$ в эту комбинацию вписывается.

serpav писал(а):

В вашем ДУ есть особая точка (0,0). В ней действительно будет множество решений

(курсив мой --- АК). Как это?

[serpav]

Алексей К. писал(а):

Никакой константы в уравнении не было. Была комбинация функции, её производной и аргумента. Приведённая функция $y(x)$ в эту комбинацию вписывается.

serpav писал(а):

В вашем ДУ есть особая точка (0,0). В ней действительно будет множество решений

(курсив мой --- АК). Как это?

Речь идет не просто о комбинации функции, её производной и аргумента, а о ДУ

$$ x^3 y' - 2y = 0. $$

Его общее решение имеет вид
$ y = Ce^{-1/x^2 } $.
При x=0, y=0 это равенство выполняется для любого С. Таким образом, меняя С мы получим множество решений в точке (0,0).

Профессор Снэйп писал(а):

Ещё раз повторяю: мой пример является решением ДУ, он удовлетворяет этому уравнению во всех точках действительной прямой. Ваш бред про функцию Хевисайда никакого отношения к задаче не имеет.

Мне Вы, похоже, не верите, а я даже не знаю, как опровергать всю ту пургу, что Вы несёте. Обращаюсь за поддержкой к другим участникам форума. Скажите человеку, что я прав.

Ну уж если вы такой умный, то обясните мне пожалуйста, как вы из общего решения ДУ

$$ x^3 y' - 2y = 0 $$

получили свое частное. При этом учитывая, что общее решение должно включать в себя все случаи, в том числе и ваш (если он является решением).
И пожалуйста, не надо расказывать, что "я взял там кусок и там кусок". Общее решение имеет вид (повторяю уже сотый раз)
$ y = Ce^{-1/x^2 } $.
Какое значение константы вы взяли, чтобы получить ваш пример?
Или может быть скажите, что общее решение это тоже бред и никакого отношения к задаче не имеет?
Тогда я удаляюсь.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Скажите человеку, что я прав.

Профессор Снэйп прав.

[Zai]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп прав.

Brukvalub,
Насколько я понимаю, Вы знакомы с этой проблемой. Неужели она не описана раньше?

...я взял там кусок и там кусок".
Если Вы двигаетесь по траектории представленного Уважаемым профессором Снейпом уравнения, то при входе в особую точку все данные о предыдущем движении стираются и Вы вольны двигаться по любой другой. Любая другая траектория должна задаваться дополнительными условиями. Это что то вроде черной дыры для решения дифференциального уравнения. Есть ли физический смысл данного уравнения?

[Brukvalub]

Zai писал(а):

Есть ли физический смысл данного уравнения?

Вот про это я не знаю, даже не уверен, что у такого уравнения вообще есть физический смысл, то есть оно описывает какой-либо реально возможный в нашем мире ( согласующийся со всем набором физических законов) процесс. Но с математическими теоремами, которые выражают достаточные условия для единственности и продолжаемости решения д.у. - знаком. Своим предыдущим высказыванием я лишь подтвердил то, что Профессор Снэйп указал бесконечно гладкую на всей оси функцию, которая, после ее подстановки в дифференциальное уравнение превращает его в тождество и удовлетворяет предложенному начальному условию.

[незваный гость]

serpav писал(а):

Речь идет не просто о комбинации функции, её производной и аргумента, а о ДУ

$$ x^3 y' - 2y = 0. $$

Его общее решение имеет вид
$ y = Ce^{-1/x^2 } $.

Это просто неверное утверждение.

worm2 писал(а):

Более простой пример: неопределённым интегралом $\int\frac{dx}{x}$ является не однопараметрическое семейство функций ln |x| + C, а двухпараметрическое семейство функций, равных ln (-x) + C при x < 0 и ln x + D при x > 0, где C и D - произвольные независимые константы. Правда, пример несколько дефектен: первообразные здесь не являются непрерывными...

Этот пример здесь ох как в тему: общее решение этого уравнения записывается как $ y = C_1 e^{-1/x^2 } \ \ x < 0$, $y(0) = 0$, $ y = C_2 e^{-1/x^2 } \ \ x > 0$ по причинам, указанным worm2. Обычно этой тонкостью интегрирования пренебрегают, но здесь — нельзя.

А если Вы не верите, что я привёл общее решение, то докажите (здесь), что Ваше решение — общее.

[serpav]

Zai писал(а):

Если Вы двигаетесь по траектории представленного Уважаемым профессором Снейпом уравнения, то при входе в особую точку все данные о предыдущем движении стираются и Вы вольны двигаться по любой другой. Любая другая траектория должна задаваться дополнительными условиями. Это что то вроде черной дыры для решения дифференциального уравнения. Есть ли физический смысл данного уравнения?

Что это еще за теория такая? Представте, что вы ездите каждый день на работу (в институт и т.д.). Значит на каждом перекрестке вы забываете, куда вы едете (данные стираются) и поворачиваете куда угодно? Частное решение ДУ однозначно определяется на всем числовом интервале и графически представляется одной кривой из семейства интегральных кривых. А уважаемый вами проф. Снейп взял куски двух частных решений соединил их в точке пересечения и объявил, что это новое частное решение, хотя на самом деле оно таковым не является, поскольку его нельзя получить из общего (см. выше).
Физический смысл той функции, которую придумал проф. Снейп можна легко придать: в момент t=0 на тело начала действовать сила F=exp(-1/x^2). До этого сила не дейсвовала (F=0). В данном случае F это y, а t - это x.

Добавлено спустя 6 минут 30 секунд:

незваный гость писал(а):

:evil:

serpav писал(а):

Речь идет не просто о комбинации функции, её производной и аргумента, а о ДУ

$$ x^3 y' - 2y = 0. $$

Его общее решение имеет вид
$ y = Ce^{-1/x^2 } $.

Это просто неверное утверждение.

Что именно неверо: я неправильно переписал уравнение, или я неправильно указал его общее решение?

[Алексей К.]

serpav писал(а):

Физический смысл той функции, которую придумал проф. Снейп можна легко придать: в момент t=0 на тело начала действовать сила F=exp(-1/x^2). До этого сила не дейсвовала (F=0). В данном случае F это y, а t - это x.

Сей пассаж не похож на "придание физического смысла". Где какой-то эффект этой силы, траектория, головокружение, etc?
Это просто переобозначение осей графика $y(x)$.

[незваный гость]

serpav писал(а):

Частное решение ДУ однозначно определяется на всем числовом интервале и графически представляется одной кривой из семейства интегральных кривых. А уважаемый вами проф. Снейп взял куски двух частных решений соединил их в точке пересечения и объявил, что это новое частное решение, хотя на самом деле оно таковым не является, поскольку его нельзя получить из общего (см. выше).

См. выше

Общее решение — не от Бога, но от человеков. То, что Вы его понимаете неправильно, ничего не доказывает.

Добавлено спустя 51 секунду:

serpav писал(а):

я неправильно переписал уравнение, или я неправильно указал его общее решение?

Вы неправильно указали его общее решение.