Замечательные негомеоморфные пространства

[Dmitry Tkachenko]

Задача. Привести пример топологических пространств $X$ и $Y,$ для которых существуют непрерывные биекции $f:X\to Y$ и $g:Y\to X,$ но $X \ncong Y.$

Довольно долго думал над этой проблемой. Но совсем недавно прочитал про интересную задачу, которая носит название "отель Гильберта". Эта задача и вдохновила меня на следующий пример.

Пусть $X=\mathbb{Z}_{-} \cup \bigcup_{n=0}^{\infty} \left[2n,2n+1\right)$ и $Y=X\cup \{1\}.$ Далее строим отображения.

$$f:X\to Y, x\mapsto\begin{cases} x+1 & \text{ if } x\leqslant -2, \\ 1 & \text{ if } x=-1, \\ x & \text{ if } x\geqslant 0; \end{cases} \quad g:Y\to X, x \mapsto \begin{cases} x & \text{ if } x<0, \\ \frac{x}{2} & \text{ if } x\in [0,1], \\ \frac{x-1}{2} & \text{ if } x\in \left[2,3\right), \\ x-2 & \text{ if } x\geqslant 4. \end{cases}$$

Если я не ошибся, то это непрерывные биекции. Но, очевидно, $X \ncong Y.$

Интересно построить более красивый пример, может у кого есть на примете.

[Dmitry Tkachenko]

В книге Архангельский А.В., Пономарёв В.И. "Основы общей топологии в задачах и упражнениях" есть аналогичная задача под номером 344. Приводится такое решение:

Цитата:

Пусть $R$ -- пространство вещественных чисел с обычной топологией. Положим $X=\{3n:n\in N\}\cup \left(\cup\{(1+3n,2+3n):n\in N\}\right)$ и $Y=\{3n:n\in N\}\cup \left(\cup\{\left[1+3n,2+3n\right):n\in N\}\right).$ Пространства $X$ и $Y$ (взятые с топологией, индуцированной из $R$) не гомеоморфны. В самом деле, компонента точки $\dfrac{3}{2}$ в $X$ есть интервал $(1,2),$ а в $Y$ нет точки, компонента которой была бы гомеоморфна интервалу. Но при гомеоморфизме компоненты гомеоморфно отображаются на компоненты. Это означает невозможность гомеоморфизма между $X$ и $Y.$
Но $X$ можно непрерывно и взаимно однозначно отобразить на $Y,$ например, так: все точки интервалов переходят в себя, а изолированные точки пространства X делятся на два бесконечных подмножества, из коих первое как-нибудь (но взаимно однозначно) отображается на множество изолированных точек пространства $Y$, а второе взаимно однозначно отображается на множество концов полуинтервалов.
Построенное отображение $X$ на $Y$ искомое. Чуть сложнее строится взаимно однозначное непрерывное отображение пространства $Y$ на пространство $X.$ При этом множество $\{\left[3n+1, 3n+2\right):n=0,1,2,...\}$ полуинтервалов разбивается как-нибудь на счетное множество счетных множеств $A_k, k=1,2,...,$ т. е. так, что каждое $A_k$ -- счетное семейство полуинтервалов. Каждый интервал $(3n+1,3n+2),$ входящий в $X$, разбивается на счетное множество попарно не пересекающихся полуинтервалов $C^n_i,$ где $C^n_i=\bigg[(3n+1)+\dfrac{1}{i+1}, 3n+1+\dfrac{1}{i} \bigg).$
Между семействами $C^k=\{C^k_i:i=1,2,...\}$ и $A_k$ устанавливается какое-нибудь взаимно однозначное соответствие и каждый полуинтервал, входящий в $A_k,$ гомеоморфно отображается на соответствующий ему полуинтервал из семейства $C^k$. Изолированные точки пространства $Y$ отображаются на изолированные точки пространства $X$ посредством какого-нибудь взаимно однозначного соответствия. Построенное отображение $Y$ на $X$ искомое.

Авторы тоже построили пример с бесконечным числом компонент связности. Интересно, существует ли пример с конечным числом компонент связности или вообще линейно связных пространств?

Предположим, что компонент связности конечное количество $>1$. Тогда их одинаковое количество в обоих пространствах. Далее, отображения $fgfg...fg$ переставляют компоненты и среди них найдется такая комбинация, которая оставляет их на месте. Тогда $fgfg...f$ и $g$ -- непрерывные отображения, для которых предположение верно для их сужений на одну компоненту в каждом пространстве. А значит рассматривать конечное число $>1$ компонент связности не нужно, а точнее можно просто рассматривать пространства только с одной компонентой связности, то есть связные/линейно связные.

[g______d]

Dmitry Tkachenko в сообщении #974429 писал(а):

Интересно, существует ли пример с конечным числом компонент связности или вообще линейно связных пространств?

Существует (теорема 2 по ссылке).

-- Чт, 05 фев 2015 18:23:25 --

(Оффтоп)

Наверное, стоит уточнить, что ответ был найден с помощью Google, который привёл меня на Mathoverflow.

[kp9r4d]

Круг с дугой и кольцо, с дугой на внешней окружности и одной точкой на внутренней.

[Dmitry Tkachenko]

g______d, прочитал пример, спасибо! В этой статье есть очень интересные результаты!

kp9r4d, что Вы имеете в виду под дугой? Границу?

[NSKuber]

Dmitry Tkachenko в сообщении #974341 писал(а):

Пусть
...
Если я не ошибся, то это непрерывные биекции.

Если я не ошибся, $1$ и $2$ переходят в $\frac{1}{2}$ под действием $g$.

[sup]

Dmitry Tkachenko в сообщении #974341 писал(а):

Если я не ошибся, то это непрерывные биекции.

Вроде бы проблемы с $g(1) = g(2) = 1/2$.

Там надо чуть похитрее. Половину полуинтервалов отобразить на все остальные, а оставшиеся отобразить на
$(\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}], n > 1$
Последние в объединении c $[0,1/2]$ дадут $[0,1)$.

-- Пт фев 06, 2015 11:47:38 --

Ой, че-то я не заметил предыдущее сообщение от NSKuber
Сорри

[kp9r4d]

Dmitry Tkachenko
Что и обычно понимают в школе: пересечение окружности и области, зажатой между двумя лучами.

[Dmitry Tkachenko]

kp9r4d, то есть взяли круг без граничной окружности и потом добавили чуть-чуть границы (скажем четверть окружности). Под этим Вы и понимаете круг с дугой?
Просто для меня круг без лишних оговорок -- это обычный замкнутый 2-диск, например с радиусом 1: $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2 \leqslant 1\}$.
Тогда круг с дугой -- это что-то не очень понятное.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #974615 писал(а):

Что и обычно понимают в школе: пересечение окружности и области, зажатой между двумя лучами.

Опишите более явно, пожалуйста. Я представил себе несколько вариантов, и ни в одном не получилось.

[kp9r4d]

Я не очень хороший художник, но, надеюсь, суть понятна:
http://rghost.ru/8Jpj9CKWV/image.png

-- 08.02.2015, 05:46 --

Dmitry Tkachenko в сообщении #975300 писал(а):

то есть взяли круг без граничной окружности и потом добавили чуть-чуть границы (скажем четверть окружности)

Да, замкнутую четверть окружности.

[g______d]

Да, действительно, получается. Спасибо.

[patzer2097]

Еще можно отметить, что этот вопрос обсуждался на MathOverflow, но столь простого примера, как указанный kp9r4d, на той странице, кажется, нет.

[Dmitry Tkachenko]

patzer2097, спасибо. Как раз эту ссылку указывал g______d.