2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение05.02.2015, 07:11 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Насколько я понимаю, неопределённый интеграл
$$\int\sin(e^{x}+x)dx = \int\frac{\sin(y+\ln y)}{y}dy$$
равно как и тот, который называется интегральный синус, в конечном виде не берутся. А как они считаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение05.02.2015, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12515
bayak в сообщении #973872 писал(а):
неопределённый интеграл

bayak в сообщении #973872 писал(а):
как они считаются?
С точностью до константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение06.02.2015, 07:04 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Утундрий, считайте, что константа равна нулю. Впрочем, Вы правы, слово "считаются" в стартовом сообщении было неуместным. Правильнее было бы спросить о численных методах нахождения интеграла. Если подинтегральную функцию интегрального синуса можно разложить в степенной ряд, то с логарифмической добавкой вряд ли этот трюк проходит. Хотя, если этот интеграл преобразовать к произведению интегрального синуса на котангенс, а котангенс выразить через сумму простых дробей, то может быть и получится. Наверняка метод существует, подскажите (или укажите на литературу), пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 02:35 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
bayak, вам надо численно посчитать определённый интеграл или же получить аналитическое выражение в виде ряда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 09:39 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
И то и другое - сначала представить в виде ряда, а потом и вычислить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 09:47 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Гиблое дело вы затеяли. Интегралы считать заметно проще, чем ряды суммировать. В ряды раскладывают для последующего анализа и доказательств (например, что функция является решением какого-нибудь дифференциального уравнения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Не то Вы говорите, B@R5uk. Здесь речь про численное нахождение, а в нём ряды - основной, да что там, иногда единственный метод. Только надо найти хороший ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 11:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
По-моему, интеграл сводится к неполной $\Gamma$-функции комплексного аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 14:58 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
ИСН в сообщении #974918 писал(а):
Не то Вы говорите, B@R5uk. Здесь речь про численное нахождение, а в нём ряды - основной, да что там, иногда единственный метод.

Чего это? А просто квадратурной формулой, хоть бы и прямоугольников?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Где-нибудь ещё - возможно, а здесь... Функция быстро осциллирует. Плюсы, минусы, вот это всё. Значения размываются, а ошибки накапливаются. Да ну его к лешему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 15:40 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
Если промежуток фиксированный, то заменами, типа как в первом посте, можно как-то уменьшать осцилляции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Посмотрел бы я, как это замена из первого поста Вам уменьшит осцилляции.
(Какая-нибудь более изощрённая - ну, может быть.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 19:22 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
ИСН в сообщении #974992 писал(а):
Да ну его к лешему.

А мне кажется, что овчинка стоит выделки.

Чтобы вы понимали откуда тут ноги растут, приведу нижеследущие собственные выкладки:
Цитата:
С учетом того, что пилообразная функция может быть представлена рядом Фурье:

$\begin{equation*}
	|x|_{\pm 1}=\frac{2}{\pi} \sum\limits_1^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(kx),
\end{equation*}
$

для суммы ряда, представляющего $\zeta(s)$-функцию Римана, получаем формулу:

$\begin{equation*}
	S(a,b)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}|e^{t_n-at_{n}}|_{\pm 1}e^{ibt_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi n}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k+1}}{k}\sin(k n^{1-a})n^{ib},
\end{equation*}
$

где $s=a-ib$, $t_{n}=\ln (n)$.

Вместе с тем, с помощью формулы суммирования Абеля-Плана сумма этого ряда может быть представлена интегральным выражением:

$\begin{equation*}
	S(s)=\frac{1}{2} +  \int_{0}^{\infty} \frac{|(x+1)^{1-s}|_{\pm 1}}{x+1}dx 
	+ i\int_{0}^{\infty}\frac{|(ix+1)^{1-s}|_{\pm 1}}{(ix+1)(e^{2\pi x}-1)}dx 
	-i\int_{0}^{\infty}\frac{|(1-ix)^{1-s}|_{\pm 1}}{(1-ix)(e^{2\pi x}-1)}dx.
\end{equation*}
$

Для вычисления первого интеграла этого выражения, необходимо сначала найти интеграл:

$\begin{equation*}
	\int_{0}^{\infty}\frac{\sin k(1+x)^{1-s}}{1+x}dx.
\end{equation*}
$

После подстановки $y=\ln (1+x)$ имеем:

$\begin{equation*}
	\int_{0}^{\infty}\sin(k\cdot e^{(1-s)y})dy,
\end{equation*}
$

а после подстановки $t=e^{(1-s)y}$ получим:

$\begin{equation*}
	\int_{1}^{\infty}\frac{\sin kt}{(1-s)t}dt,
\end{equation*}
$

и, наконец, после замены $z=kt$ имеем:

$\begin{equation*}
	\frac{1}{1-s}\int_{k}^{\infty}\frac{\sin z}{z}dz = \frac{\operatorname{si}(k)}{s-1}.
\end{equation*}
$

Тогда

$\begin{equation*}
	\int_{0}^{\infty} \frac{|(x+1)^{1-s}|_{\pm 1}}{x+1}dx = \frac{2}{\pi(s-1)} \sum\limits_1^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\operatorname{si}(k).
\end{equation*}
$

Однако, поскольку в области $s>1$ интеграл легко вычисляется:

$\begin{equation*}
	\int_{0}^{\infty} \frac{|(x+1)^{1-s}|_{\pm 1}}{x+1}dx = \frac{1}{s-1},
\end{equation*}
$

то такое же значение интеграла будет и в области $s<1$, откуда получим:

$\begin{equation*}
	\sum\limits_{1}^{\infty}\operatorname{si}(k)=\frac{\pi}{2\ln2}.
\end{equation*}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 21:54 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Впрочем, если использовать представление функции $\sin x$ степенным рядом, то получим сумму тройного ряда:

$
\begin{equation*}
\zeta(s)=\frac{2}{\pi} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^\infty\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}(-1)^{2m-1}kn^{(2m-1)(1-s)}}{kn(2m-1)!}.
\end{equation*}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус с логарифмическим довеском
Сообщение07.02.2015, 22:09 


10/02/11
6786
bayak в сообщении #974450 писал(а):
Утундрий, считайте, что константа равна нулю

продемонстрируйте плз полагание константы нулем на примере такого интеграла $\int xdx$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group