Самолет совершает посадку

[Seergey]

Самолет массы $M=10^4$ кг совершает посадку, имея вначале скорость $v_0=20$ км/ч. При посадке он касается посадочной дорожки двумя колесами, могущими свободно вращаться вокруг своих осей. Перед посадкой колеса были неподвижны. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить скорость самолета, в момент, когда колеса начнут катиться по дорожке без проскальзывания. Радиус каждого колеса $R=1$ м, момент инерции колеса относительно геометрической оси $I=100$ кг м^2.

Если применить закон сохранения энергии, то
$\frac{M v_0^2}{2}=\frac{M v_k^2}{2}+2\frac{I \omega^2}{2}$
$\omega=\frac{v_k}{R}$
получиться $v_k=\sqrt{\frac{M}{M R^2+2I}}v_0 R=5.50082$ м/с

Однако, законом сохранения здесь пользоваться нельзя, поскольку действует сила трения скольжения, а точка приложения этой силы (самая нижняя точка колеса) движется с ненулевой скоростью относительно посадочной дорожки.

Возникает проблема, как связать импульс самолета и момент импульса колеса самолета.

Т. е. используя ЗСИ и ЗСМИ:
$M v_0=M v_k+?$
А закон сохранения момента импульса непонятно даже относительно какой оси писать.

Так же есть вопрос как изменить условия задачи, чтобы закон сохранения импульса не выполнялся?

Правильный ответ $v_k=\frac{M R^2 v_0}{2I+M R^2}=5.44662$ м/с, что, как легко заметить, меньше, чем тот, если бы энергия сохранялась, т. е. кинетическая энергия самолета тратится не только на раскрутку колес, но и на трение.

[rustot]

введите произвольную силу трения скольжения $F$. импульс самолета в целом как материальной точки изменится на $F t$. осталось найти время, а вот для его нахождения уже нужно разбираться с моментами. $M = J \frac{d}{dt} w$, аналог второго закона ньютона для вращения. введенная сила по всей видимости сократится

[Seergey]

rustot в сообщении #974632 писал(а):

введите произвольную силу трения скольжения $F$. импульс самолета в целом как материальной точки изменится на $F t$. осталось найти время, а вот для его нахождения уже нужно разбираться с моментами. $M = J \frac{d}{dt} w$, аналог второго закона ньютона для вращения. введенная сила по всей видимости сократится

Хорошо.

Пусть действует сила $F$
Тогда
$\Delta p=(-Mv_k+Mv_0)=\int_0^t F dt$
$Mv_0=Mv_k+Ft$

Пусть M - момент внешних сил относительно оси колеса.
Сила F внешняя.
А сила, возникающая в оси, при замедлении самолета внутренняя?
Или она внешняя, но её момент равен 0?

$M dt=2 I d\omega$
$\int_0^t M dt= \int_0^{\omega_k}2 I d\omega$
$Mt=2 I w_k$

Ну и далее $M=FR$
$\omega_k=\frac{v_k}{R}$, т. е.
$v_k=\frac{M R^2 v_0}{2I+M R^2}$ (только здесь M это уже не момент, а масса самолета)

[Oleg Zubelevich]

пишем теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной точки, лежащей на дорожке. момент силы трения относительно этой точки равен нулю

-- Пт фев 06, 2015 18:29:50 --

rustot в сообщении #974632 писал(а):

введите произвольную силу трения скольжения $F$. импульс самолета в целом как материальной точки изменится на $F t$. осталось найти время, а вот для его нахождения уже нужно разбираться с моментами. $M = J \frac{d}{dt} w$, аналог второго закона ньютона для вращения. введенная сила по всей видимости сократится

в таком виде не сократится

[Seergey]

Oleg Zubelevich в сообщении #974649 писал(а):

пишем теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной точки, лежащей на дорожке. момент силы трения относительно этой точки равен нулю

-- Пт фев 06, 2015 18:29:50 --

Зато момент силы тяжести ненулевой

[Oleg Zubelevich]

да, смешно

[Seergey]

Почему это не сократится, если в момент входит только сила трения?

[Oleg Zubelevich]

сократится, это я неправильно сказал, только не надо считать, что в задаче сухое трение, этого не дано в условии

[Seergey]

А как относительно неподвижной точки на дорожке можно записать момент инерции колеса?

-- 06.02.2015, 20:13 --

Там же и $I=I(t)$ и целых две силы: тяжести и за счет замедления самолета (серьёзно)

Pphantom:

Относитесь, пожалуйста, внимательнее к набору формул. Выше я поправил ее сам, но...

[Oleg Zubelevich]

Seergey в сообщении #974672 писал(а):

А как относительно неподвижной точки на дорожке можно записать момент инерции колеса?

это не нужноо, есть теорема о вычислении кинетического момента твердого тела $\overline K_O=m[\overline {OS},\overline v_S]+J_S\overline \omega$, где $S$ -- центр масс

Seergey в сообщении #974672 писал(а):

Там же и I=I(t)

не понял

Seergey в сообщении #974672 писал(а):

тяжести и за счет замедления самолета (серьёзно)

сила тяжести в уравнениях компенсируется силой реакции, про "за счет замедления самолета" не понял

[Seergey]

Самолет имеет ускорение направленное против движения. В системе отсчета связанной с неподвижной дорожкой колесо действует на ось с силой направленной по движению когда он касается дорожки которая передает замедление самому самолету?

Если точка движется то момент инерции зависит от времени относительно неподвижной точки

[Oleg Zubelevich]

Seergey в сообщении #974680 писал(а):

В системе отсчета связанной с неподвижной дорожкой колесо действует на ось с силой направленной по движению когда о

а теорема об измененении кин. момента пишется для всей системы самолет+колеса

Seergey в сообщении #974680 писал(а):

Если точка движется то момент инерции зависит от времени относительно неподвижной точки

см. выше

[Seergey]

для всей системы самолет+колеса

$K_{O sam+kol}=m_{kol}[\overline {OK},\overline v_{kol}]+m_{sam}[\overline {OS},\overline v_{sam}]+J_{kol}\overline \omega=[m_{kol} \overline {OK}+m_{sam} \overline {OS},\overline v_{sam}]+J_{kol}\overline \omega=const$

$\overline {OK}$ радиус вектор цм колеса
$\overline {OS}$ радиус вектор цм самолета

$ \overline {OK}+ \overline {OS}=const$

Если в начальный момент точка О находится прямо под колесом, то
$K_{O sam+kol}=[m_{kol} \overline {OK}+m_{sam} \overline {OS},\overline v_{sam}]$
$|\overline {OK}|=R$

Когда кончится скольжение:
$K_{O sam+kol}=[m_{kol} \overline {OK}+m_{sam} \overline {OS},\overline v_k]+J_{kol}\frac{\overline v_k}{R}$

$[m_{kol} \overline {OK}+m_{sam} \overline {OS},\overline v_0]=[m_{kol} \overline {OK}+m_{sam} \overline {OS},\overline v_k]+J_{kol}\frac{\overline v_k}{R}$
$[m_{kol} \overline {OK}+m_{sam} \overline {OS},\overline v_0-\overline v_k]=J_{kol}\frac{\overline v_k}{R}$

[Oleg Zubelevich]

$Mv_0R=MvR+2I\omega,\quad R\omega=v$

[Seergey]

Oleg Zubelevich в сообщении #974716 писал(а):

$Mv_0R=MvR+2I\omega,\quad R\omega=v$

Момент инерции самолета с колесами все равно надо по отдельности писать для колес и для самолета? Проблема с центром массы самолета. Его надо будет исключать, а это уравнение не очевидно как получается