Положительно определенная матрица

[Ward]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Как доказать следующее утверждение: Матрица $B$ положительно определена тогда и только тогда, когда существует невырожденная матрица $C$ такая, что $B=C^{T}C$

Я знаю, что квадратичная функция $b$ положительно определена тогда и только тогда, когда ее ранг и сигнатура равны $dim V=n$.
Кроме того, матрицы билинейного функционала в разных базисах связаны таким соотношением: $B^{e'}=C^{T}B^{e}C$, где $C$ -- матрица перехода от одного базиса к другому.
Вот как все это связать чтобы получить то, что мне нужно я не знаю. Помогите в этом пожалуйста.

P.S. Надеюсь меня выпустят из карантина.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

Ward в сообщении #974097 писал(а):

Как доказать следующее утверждение: Матрица $B$ положительно определена тогда и только тогда, когда существует невырожденная матрица $C$ такая, что $B=C^{T}C$

Справа налево утверждение почти тривиально, а вот в обратную сторону -- отнюдь. При чём тут сигнатуры -- не знаю, а вот что действительно нужно, так это теорема о диагонализуемости симметричной матрицы (о существовании ортонормированного собственного базиса). Если эта теорема есть, то и в обратную сторону достаточно очевидно; если же нет, то плохо представляю, откуда у вас взялась теорема о сигнатуре.

-- Чт фев 05, 2015 18:07:35 --

Ward в сообщении #974122 писал(а):

Я даже не знаю как доказать справа налево.

Тривиально: записать квадратичную форму $(C^TCx,x)$ и перекинуть $C^T$ на второй сомножитель (ну плюс пара заклинаний).

[Ward]

Уважаемый ewert
Да справа налево тупо подставляем и получаем то, что нам нужно.
Но дело в том, что такой теоремы еще не было, а появится она немного позднее.

-- 05.02.2015, 18:11 --

Вроде в книжке сказано, что при доказательства необходимости нужно использовать:
1) Нужно использовать формулу изменения матрицы при переходе от одного базиса к другому.
2) Матрица положительно определена тогда и только тогда, когда ранг и сигнатура равны размерности пространства $V$.

[ewert]

Ward в сообщении #974124 писал(а):

Но дело в том, что такой теоремы еще не было, а появится она немного позднее.

Ну тогда это издевательский курс. Спектральное разложение симметричных матриц -- это святое.

Не знаю, как с только сигнатурами. Это всё-таки задача об извлечении квадратного корня из оператора, а она даром в любом случае не даётся. Тут принципиально существование именно ортогонального собственного базиса. Иначе получается какое-то извращение.

-- Чт фев 05, 2015 18:25:41 --

Ward в сообщении #974124 писал(а):

1) Нужно использовать формулу изменения матрицы при переходе от одного базиса к другому.

Нужно, конечно. Только прок от этой формулы будет лишь если матрица перехода ортогональна. Т.е. надо знать, что такой переход существует.

[takeover]

Рассмотрите новое скалярное произведение $h(x,y):=(Bx,y)$.
Ортогональность матрицы перехода тут ни к чему. Более того, она тут и не появится нигде.

[Ward]

Да действительно я рассмотрел такое скалярное произведение.
Но почему верно такое равенство $(Ax,y)=(x,A^Ty)$?
Никак не могу это понять?

[takeover]

Ward
В ортонормированном базисе: $(x,y)= \bold x^{T}\bold y$, где $\bold x,\bold y$ - рассматриваются как вектор-столбцы. Отсюда тривиально следует.

[Ward]

Все-таки базис рассматривается ортонормированный?

-- 05.02.2015, 18:53 --

А я думал, что написанное мной равенство верно в любом базисе.
Получается, что только в ортонормированном?

[takeover]

Ward
Да, в не ортонормированом формула для скалярного произведения через вектор-столбцы изменится, там появится матрица Грама и соответственно изменится формула для сопряженной матрицы.