Вторичное квантование

[max077]

Все шло хорошо, пока я не начал читать про вторичное квантование ЭМ поля. Речь тут уже идет не про какие ни будь частицы (речь о фотонах), а про разные электромагнитные моды (каждая из которых представляет собой независимый квантовый гармонический осциллятор): как итог, каждый фотон соответствует единичной энергии в своей моде.
Насколько возможно доходчиво объясните пожалуйста, что это за моды (осцилляторы)?
Сколько их в электромагнитном поле?
Они уничтожаемы, или нет?
Энергетические уровни каждого осциллятора представляют собой фотоны?
Если нету фотонов, то что представляют собой эти моды (это главный вопрос, вогнавший в ступор)?
Я правильно понимаю, что в таком рассмотрении фотоны вовсе не частицы, а нечто совсем иное?

Прошу прощения, если вопросы глупые, но я еще школьник. Учусь понемногу.

[Munin]

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Все шло хорошо, пока я не начал читать про вторичное квантование ЭМ поля.

Для начала, вы знакомы со вторичным квантованием многочастичных систем в квантовой механике? Примерно ЛЛ-3 глава 9.

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Насколько возможно доходчиво объясните пожалуйста, что это за моды (осцилляторы)?

ЛЛ-2 § 52 "Собственные колебания поля".

Просто уравнения электромагнитного поля сравниваются с уравнениями теоретической механики. Оказывается, в них можно разделить переменные, аналогично тому, как это делается для связанных осцилляторов - выделение собственных мод колебаний (см. ЛЛ-1 главу 5, особенно § 23 "Колебания систем со многими степенями свободы"). Это разделение переменных оказывается разложением полей в ряд (интеграл) Фурье по пространственным координатам. Каждая такая волна, оказывается, имеет динамическое уравнение в виде уравнения гармонического осциллятора - как грузик на пружинке. Только частота у каждой волны своя.

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Сколько их в электромагнитном поле?

Бесконечно много.

Если вы возьмёте ящик, и зададите на его стенках граничные условия, то в ящике будет бесконечный ряд таких колебаний, как в ряде Фурье. Если вы возьмёте бесконечное пространство (на бесконечности надо будет тоже задать граничные условия), то получится непрерывный спектр таких колебаний, как в интеграле Фурье. Обычно физически удобно рассматривать ящик, а потом устремлять его размеры к бесконечности, или просто брать достаточно большими, чтобы стенки ящика не влияли ни на какую физику внутри.

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Они уничтожаемы, или нет?

Сами осцилляторы - нет, не уничтожаемы.

Колебания в осцилляторах - уничтожаемы. На классическом уровне, до нуля. На квантовом уровне - спустившись на уровень $n=0,$ мы всё равно имеем неуничтожимые "нулевые колебания". Тут надо вспомнить подробно теорию квантового осциллятора, например, см. Мессиа. Квантовая механика. Т. 1. глава 12 (последняя в первом томе).

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Энергетические уровни каждого осциллятора представляют собой фотоны?

Да.

Более точно, уровень $n$ представляет собой $n$ фотонов, совершенно одинаковых (частота, длина волны, направление движения, поляризация - это всё заложено в номер осциллятора; фаза - это состояние колебания на уровне $n$). Между собой они неразличимы, тождественны. Тут очень легко понять эту неразличимость: фотоны неразличимы так же, как единицы "внутри" натурального числа.

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Если нету фотонов, то что представляют собой эти моды (это главный вопрос, вогнавший в ступор)?

Эти моды - "кусочки" электромагнитного поля. Электромагнитное поле - это динамическая система, готовая к тому, чтобы её как-то возбудили, а когда нет возбуждений - спокойно сидящая в каком-то нейтральном положении. Вот и моды - это отдельные такие динамические системки (подсистемы). Когда нет фотонов - они сидят в нейтральном положении. В квантовом случае - на уровне $n=0.$

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Я правильно понимаю, что в таком рассмотрении фотоны вовсе не частицы, а нечто совсем иное?

В таком рассмотрении - да. Но можно потом перейти обратно к координатному представлению, и тогда фотон получается похожим на обычную частицу из квантовой механики. У него будет некоторое подобие волновой функции: плоская волна, или волновой пакет, или что-то ещё. В зависимости от того, какие спектральные составляющие в нём присутствуют. Можно даже собрать стационарное состояние - например, стоячую волну в резонаторе с зеркальными стенками. Так что, это понятие фотона - не отменяет другого представления о фотоне, а дополняет и формализует его.

-- 03.02.2015 21:03:40 --

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Прошу прощения, если вопросы глупые, но я еще школьник. Учусь понемногу.

Ого! Для школьника вопросы очень крутые.

[max077]

Munin в сообщении #973203 писал(а):

Для начала, вы знакомы со вторичным квантованием многочастичных систем в квантовой механике? Примерно ЛЛ-3 глава 9.

Нет пока что.

Munin в сообщении #973203 писал(а):

Бесконечно много.

Если вы возьмёте ящик, и зададите на его стенках граничные условия, то в ящике будет бесконечный ряд таких колебаний, как в ряде Фурье. Если вы возьмёте бесконечное пространство (на бесконечности надо будет тоже задать граничные условия), то получится непрерывный спектр таких колебаний, как в интеграле Фурье. Обычно физически удобно рассматривать ящик, а потом устремлять его размеры к бесконечности, или просто брать достаточно большими, чтобы стенки ящика не влияли ни на какую физику внутри.

То есть в реальной вселенной их тоже бесконечно много (этих осцилляторов)? И каждый осциллятор занимает сразу все пространство, имеет свою частоту и другие величины?

Munin в сообщении #973203 писал(а):

Да.

Более точно, уровень $n$ представляет собой $n$ фотонов, совершенно одинаковых (частота, длина волны, направление движения, поляризация - это всё заложено в номер осциллятора; фаза - это состояние колебания на уровне $n$). Между собой они неразличимы, тождественны. Тут очень легко понять эту неразличимость: фотоны неразличимы так же, как единицы "внутри" натурального числа.

Чисто логически: наверное этих уровней у каждого осциллятора тоже бесконечно много.

В таком представлении очень сложно понять движение отдельных фотонов.

[Munin]

max077 в сообщении #973237 писал(а):

Нет пока что.

Тогда для начала ознакомьтесь. А то вы не знаете, что значат слова "вторичное квантование" вообще.

max077 в сообщении #973237 писал(а):

То есть в реальной вселенной их тоже бесконечно много (этих осцилляторов)? И каждый осциллятор занимает сразу все пространство, имеет свою частоту и другие величины?

Ну да. Если отвлечься от вопросов о размере Вселенной :-)

Не забывайте, что это всего лишь математическое описание, эквивалентное обычному представлению, что в каждой точке пространства есть какой-то вектор электрического, и какой-то вектор магнитного поля. Можно так считать, а можно этак.

max077 в сообщении #973237 писал(а):

Чисто логически: наверное этих уровней у каждого осциллятора тоже бесконечно много.

Да. $n=0,1,2,\ldots$ и до бесконечности. Это часть теории осциллятора.

У атома, например, тоже есть уровни от 1 до бесконечности, но их энергия растёт не бесконечно. По энергии, эти уровни сгущаются к некоторому пределу, который называется энергия ионизации. Пока электрону атома дают энергию, достаточную для перехода на уровень $n,$ он становится дальше от ядра, но остаётся в атоме. А когда он получает энергию ионизации, то удаляется на бесконечное расстояние, то есть по сути, выходит из атома. И дальше идёт непрерывный диапазон значений энергии, от энергии ионизации до бесконечности - все они соответствуют тому, что электрон отрывается от атома, и получает вдобавок ещё какую-то кинетическую энергию, то есть снаружи атома летит ещё с какой-то скоростью.

А у осциллятора не так. У него непрерывного диапазона никогда не наступает: считается, что вырвать частицу из осциллятора нельзя никогда. И энергии этих уровней

$$E_n=(n+\tfrac{1}{2})\hbar\omega=(n+\tfrac{1}{2})h\nu,$$

где $\hbar$ и $h=2\pi\hbar$ - постоянные Планка (по двум соглашениям), $\nu$ - частота колебаний осциллятора (для пружинного маятника $\nu=\sqrt{k/m},$ для математического маятника с малыми колебаниями $\nu=\sqrt{g/l\,}$), а $\omega=2\pi\nu$ - соответствующая циклическая частота. Как видите, уровни энергии расположены равномерно, как "лесенка" - это замечательное свойство квантового осциллятора. И минимальный уровень энергии равен не нулю, а $\tfrac{1}{2}\hbar\omega$ - это называется "энергия нулевых колебаний". Связано это с тем, что волновая функция осциллятора не может вся сжаться в начале координат, из-за соотношения неопределённостей, а должна как-то "размазаться" вокруг. И вот "хвосты" этой волновой функции приходятся как раз на области с ненулевой потенциальной энергией - вот и получается, что энергия даже нисшего состояния не нуль.

max077 в сообщении #973237 писал(а):

В таком представлении очень сложно понять движение отдельных фотонов.

Пространственное движение - да, сложновато. Приходится всё-таки переходить к координатному представлению.

Зато в таком представлении намного проще понять другие вещи, в других случаях сложные. Например, взаимодействие частиц, или наоборот, систему свободных невзаимодействующих полей.

-- 03.02.2015 22:26:10 --

По какой книжке читаете вторичное квантование электромагнитного поля?
Как у вас дела с предварительным базисом: теормеханика, электродинамика, СТО, квантовая механика? Математика: ряд и преобразование Фурье?

-- 03.02.2015 22:36:36 --

Если вам лень открывать Мессиа, то хотя бы посмотрите вот это:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
Если у вас как у школьника с английским не очень, то можете хотя бы это:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Квантовый_гармонический_осциллятор
а по первой ссылке хотя бы посмотрите картинки.

[max077]

Munin в сообщении #973249 писал(а):

Не забывайте, что это всего лишь математическое описание, эквивалентное обычному представлению, что в каждой точке пространства есть какой-то вектор электрического, и какой-то вектор магнитного поля. Можно так считать, а можно этак.

А как можно считать иначе, то есть, как Вы сказали, "этак"?

Munin в сообщении #973249 писал(а):

По какой книжке читаете вторичное квантование электромагнитного поля?
Как у вас дела с предварительным базисом: теормеханика, электродинамика, СТО, квантовая механика? Математика: ряд и преобразование Фурье?

Я рискнул прочитать ЛЛ, однако углубленно пока что не в состоянии. Поэтому, думаю, придется начать с чего то менее крутого.

-- 04.02.2015, 01:40 --

Munin в сообщении #973249 писал(а):

Если вам лень открывать Мессиа, то хотя бы посмотрите вот это:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_ha ... oscillator

Если у вас как у школьника с английским не очень, то можете хотя бы это:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Квантовый_гармонический_осциллятор

а по первой ссылке хотя бы посмотрите картинки.

Эти статьи я читал. Но вопросов от них стало больше.

[Munin]

max077 в сообщении #973253 писал(а):

А как можно считать иначе, то есть, как Вы сказали, "этак"?

Это как раз представлять себе поле как бесконечное множество осцилляторов. Поле в каждой точке вычисляется как сумма по всем осцилляторам,

$$\mathbf{E}=\sum\limits_{\mathbf{k}}\mathbf{E}_{\mathbf{k}},\qquad\mathbf{H}=\sum\limits_{\mathbf{k}}\mathbf{H}_{\mathbf{k}}.$$

Дальше, в каждом осцилляторе его поля во всём пространстве зависят всего-навсего от двух чисел:

$$\begin{gathered}\mathbf{E}_{\mathbf{k}}=-\sqrt{\dfrac{4\pi}{V}}(ck\,\mathbf{Q}_{\mathbf{k}}\sin\mathbf{kr}+\mathbf{P}_{\mathbf{k}}\cos\mathbf{kr}),\\\mathbf{H}_{\mathbf{k}}=-\sqrt{\dfrac{4\pi}{V}}\dfrac{1}{k}(ck[\mathbf{kQ}_{\mathbf{k}}]\sin\mathbf{kr}+[\mathbf{kP}_{\mathbf{k}}]\cos\mathbf{kr}).\\\end{gathered}$$

Эти числа называются: $\mathbf{Q}_{\mathbf{k}}$ - канонической координатой осциллятора поля, а $\mathbf{P}_{\mathbf{k}}$ - каноническим импульсом. Это понятия из теоретической механики, см. ЛЛ-1. Вот множество всех этих $\mathbf{Q}_{\mathbf{k}},\mathbf{P}_{\mathbf{k}},$ расположенных в пространстве волновых векторов, описывает поле не хуже, чем величины векторов поля, заданные заданные в точках обычного (координатного) пространства. Разложение поля на осцилляторы, напоминаю, ЛЛ-2 § 52, формулы я списал оттуда, обозначения могут слегка отличаться от ЛЛ-4.

-- 03.02.2015 23:00:39 --

max077 в сообщении #973253 писал(а):

Эти статьи я читал. Но вопросов от них стало больше.

Тогда вам надо основательно прочитать квантовую механику, примерно хотя бы первые три главы ЛЛ-3, и/или ФЛФ хотя бы 8 том, и как я уже сказал, Мессиа главу 12.

Ну, или задавайте вопросы здесь, может быть, их не так уж много, и они не такие уж страшные. Что такое волновая функция, вы себе представляете?

-- 03.02.2015 23:04:59 --

Munin в сообщении #973263 писал(а):

Разложение поля на осцилляторы, напоминаю, ЛЛ-2 § 52, формулы я списал оттуда, обозначения могут слегка отличаться от ЛЛ-4.

Да не, вроде, всё так же, только индекса поляризации $\alpha$ явно не выписано.

[max077]

Благодарен. Наверное я неправильно понял то, что Вы написали. Я подумал, что есть описание ЭМ поля, в котором оно присутствует не в каждой точке пространства.

[Munin]

А, конечно, нет.

[max077]

Munin в сообщении #973270 писал(а):

А, конечно, нет.

Состояние $n=0$ реализуется в какой ни будь точке реальной вселенной, или это абстракция?

[max077]

Попробую резюмировать все, как я понял.

Электромагнитное поле состоит из бесчисленного количества мод (независимых квантовых гармонических осцилляторов). Как на картинке (этот ряд можно продолжать бесконечно, хотя на картинке их всего три).



У каждого осциллятора своя частота и свои уровни энергии (про другие величины не знаю). Только тут непонятка: если поле состоит из мод с любой частотой (в том числе и бесконечно огромной), то почему мы их не замечаем?

Дальше. Каждый такой осциллятор имеет бесконечные энергетические уровни. Как на картинке:



Основное состояние ($n=0$) это состояние без фотонов, но даже так осциллятор продолжает колебаться. Добиться такого состояния в реальной вселенной невозможно, поскольку для этого придется убрать все фотоны.

[Alex-Yu]

max077 в сообщении #973453 писал(а):

Попробую резюмировать все, как я понял.

Ну что, для школьника весьма и весма неплохо. Все верно понято. И вопрос возник вполне разумный:

-- Ср фев 04, 2015 19:46:47 --

max077 в сообщении #973390 писал(а):

Состояние $n=0$ реализуется в какой ни будь точке реальной вселенной, или это абстракция?

Здесь нужно понимать вот что. Осцилляторы (точнее возбуждения осцилляторов) --- это фотоны С ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИМПУЛЬСОМ. Такие фотоны действиельно "размазаны по всей Вселенной". Но могут быть фотоны, у которых импульс (а значит и энергия) имеет некоторую неопределенность. Такие фотоны уже не "размазаны по всей Вселенной", а локализованы в некой пространственной области. Но тогда это не осциляторы. И нет, в принципе, никакой разницы представлять себе квантовое ЭМ поле как набор "размазанных" фотонов или в какой-то мере локализованных (волновых пакетов). Это, своего рода, просто замена координат (но не в реальном геометрическом пространстве, а в функциональном). Но с осциляторами работать радикально проще. Поэтому вся теория строится для осцилляторов а потом, буде случится такая нужда, несложно перейти и к волновым пакетам.

-- Ср фев 04, 2015 19:49:35 --

max077 в сообщении #973453 писал(а):

Только тут непонятка: если поле состоит из мод с любой частотой (в том числе и бесконечно огромной), то почему мы их не замечаем?

А с чего бы мы их замечали? Это вакуум --- состояние поля в котором все осцилляторы находятся в состоянии $n=0$. Кстати, в некоторых специальных экспериментах эти "нулевые колебания поля" можно все же "ущучить". Почитайте про эффект Казимира.

Поймите очень важную вещь. С точки зрения квантовой теории поля (КТП) вакуум это вовсе не какое-то "пустое место" в котором летают или не летают частицы. Это состояние поля (не только электромагнитного, всех других полей тоже) в котором все осцилляторы находятся в основном состоянии. Правда, ситуация осложняется в том случае, если учитывается взаимодействие полей (нелинейность полей). Тогда правильнее сказать что вакуум --- это состояние поля с самой маленькой энергией, какая только может быть (основное состояние). При учете взаимодействия вакуум уже не так прост, как в теории без взаимодействия (все $n=0$ и все дела!). В теории с взаимодействием математическое описание вакуума -- это уже непростая задача, которую можно решить уже лишь только приближенно.

-- Ср фев 04, 2015 20:09:11 --

max077 в сообщении #973253 писал(а):

Я рискнул прочитать ЛЛ, однако углубленно пока что не в состоянии.

Помнтся я начал изучение теорфизики с довольно "крутой", "круче" чем ЛЛ, книжки Боголюбова и Ширкова (до этого, правда, прочитал Блохинцева). Ничего не понял. Но прочитал. Всю. Зато в результате я понял что мне надо изучать чтобы понять Боголюбова-Ширкова. Правда, потом пришлось сделать еще несколько итераций (прочитать книжки, которые нужны чтобы понять книжки, нужные для чтения Боголюбова-Ширкова). Читать нужно много и не обязательно подряд, главное -- много и в конце концов "добраться до начала" Не нужно бояться того, что что-то ПОКА непонятно. И еще "поползать" неоднократно от начала к концу и обратно. Только тогда можно ДЕЙСТВИТЕЛЬНО что-то понять.

-- Ср фев 04, 2015 20:19:28 --

max077 в сообщении #973163 писал(а):

Они уничтожаемы, или нет?

Сами осцилляторы --- неуничтожаемы. А вот возбуждения этих осцилляторов (фотоны) вполне рождаемы и уничтожаемы.

[max077]

Alex-Yu в сообщении #973518 писал(а):

Ну что, для школьника весьма и весма неплохо. Все верно понято. И вопрос возник вполне разумный:

Спасибо.

Alex-Yu в сообщении #973518 писал(а):

Такие фотоны действиельно "размазаны по всей Вселенной". Но могут быть фотоны, у которых импульс (а значит и энергия) имеет некоторую неопределенность. Такие фотоны уже не "размазаны по всей Вселенной", а локализованы в некой пространственной области.

То есть это два разных взгляда на фотон. Но вопрос связан с другим, но, наверное я уже сам на него ответил тут:

max077 в сообщении #973453 писал(а):

Основное состояние ($n=0$) это состояние без фотонов, но даже так осциллятор продолжает колебаться. Добиться такого состояния в реальной вселенной невозможно, поскольку для этого придется убрать все фотоны.

Alex-Yu в сообщении #973518 писал(а):

А с чего бы мы их замечали? Это вакуум --- состояние поля в котором все осцилляторы находятся в состоянии $n=0$. Кстати, в некоторых специальных экспериментах эти "нулевые колебания поля" можно все же "ущучить". Почитайте про эффект Казимира.

Нет, я не про физический вакуум. Речь идет о разных модах ЭМ поля, каждая из которых имеет свою частоту и свое количество фотонов. То есть это уже не вакуум, насколько я понимаю.

[Alex-Yu]

max077 в сообщении #973574 писал(а):

Речь идет о разных модах ЭМ поля, каждая из которых имеет свою частоту и свое количество фотонов. То есть это уже не вакуум, насколько я понимаю.

Если каждая мода в состоянии $n=0$, то это именно вакуум и есть.

[max077]

Alex-Yu в сообщении #973604 писал(а):

Если каждая мода в состоянии $n=0$, то это именно вакуум и есть.

Если. Но в реальной вселенной такое состояние не реализуемо и не реализуется.

[Alex-Yu]

max077 в сообщении #973614 писал(а):

Если. Но в реальной вселенной такое состояние не реализуемо и не реализуется.

Во всей вселенной никакое состояние (и вообще что-либо) никогда не реализуется. Всегда где-то далеко есть что-то еще, и мы не знаем что именно. Такими филосовскими вопросами физика не занимается. Физика всегда имеет дела, может и с большим, но конечным объемом. В конечном объеме (в неком "ящике") вполне можно приготовить поле в состоянии вакуума. Более того, это даже делается реально в технических устройствах (в квантовых линиях связи). При этом что там за пределами рассматриваемого объема никого не интересует и вообще не рассматривается. Поле --- это то, что внутри нужного нам "ящика". А что за пределами "ящика" --- это оставьте философам Это уже не наука, это --- болтовня пустопорожняя.