2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Вторичное квантование
Сообщение03.02.2015, 19:50 


12/01/15

39
Все шло хорошо, пока я не начал читать про вторичное квантование ЭМ поля. Речь тут уже идет не про какие ни будь частицы (речь о фотонах), а про разные электромагнитные моды (каждая из которых представляет собой независимый квантовый гармонический осциллятор): как итог, каждый фотон соответствует единичной энергии в своей моде.
Насколько возможно доходчиво объясните пожалуйста, что это за моды (осцилляторы)?
Сколько их в электромагнитном поле?
Они уничтожаемы, или нет?
Энергетические уровни каждого осциллятора представляют собой фотоны?
Если нету фотонов, то что представляют собой эти моды (это главный вопрос, вогнавший в ступор)?
Я правильно понимаю, что в таком рассмотрении фотоны вовсе не частицы, а нечто совсем иное?

Прошу прощения, если вопросы глупые, но я еще школьник. Учусь понемногу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение03.02.2015, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
max077 в сообщении #973163 писал(а):
Все шло хорошо, пока я не начал читать про вторичное квантование ЭМ поля.

Для начала, вы знакомы со вторичным квантованием многочастичных систем в квантовой механике? Примерно ЛЛ-3 глава 9.

max077 в сообщении #973163 писал(а):
Насколько возможно доходчиво объясните пожалуйста, что это за моды (осцилляторы)?

ЛЛ-2 § 52 "Собственные колебания поля".

Просто уравнения электромагнитного поля сравниваются с уравнениями теоретической механики. Оказывается, в них можно разделить переменные, аналогично тому, как это делается для связанных осцилляторов - выделение собственных мод колебаний (см. ЛЛ-1 главу 5, особенно § 23 "Колебания систем со многими степенями свободы"). Это разделение переменных оказывается разложением полей в ряд (интеграл) Фурье по пространственным координатам. Каждая такая волна, оказывается, имеет динамическое уравнение в виде уравнения гармонического осциллятора - как грузик на пружинке. Только частота у каждой волны своя.

max077 в сообщении #973163 писал(а):
Сколько их в электромагнитном поле?

Бесконечно много.

Если вы возьмёте ящик, и зададите на его стенках граничные условия, то в ящике будет бесконечный ряд таких колебаний, как в ряде Фурье. Если вы возьмёте бесконечное пространство (на бесконечности надо будет тоже задать граничные условия), то получится непрерывный спектр таких колебаний, как в интеграле Фурье. Обычно физически удобно рассматривать ящик, а потом устремлять его размеры к бесконечности, или просто брать достаточно большими, чтобы стенки ящика не влияли ни на какую физику внутри.

max077 в сообщении #973163 писал(а):
Они уничтожаемы, или нет?

Сами осцилляторы - нет, не уничтожаемы.

Колебания в осцилляторах - уничтожаемы. На классическом уровне, до нуля. На квантовом уровне - спустившись на уровень $n=0,$ мы всё равно имеем неуничтожимые "нулевые колебания". Тут надо вспомнить подробно теорию квантового осциллятора, например, см. Мессиа. Квантовая механика. Т. 1. глава 12 (последняя в первом томе).

max077 в сообщении #973163 писал(а):
Энергетические уровни каждого осциллятора представляют собой фотоны?

Да.

Более точно, уровень $n$ представляет собой $n$ фотонов, совершенно одинаковых (частота, длина волны, направление движения, поляризация - это всё заложено в номер осциллятора; фаза - это состояние колебания на уровне $n$). Между собой они неразличимы, тождественны. Тут очень легко понять эту неразличимость: фотоны неразличимы так же, как единицы "внутри" натурального числа.

max077 в сообщении #973163 писал(а):
Если нету фотонов, то что представляют собой эти моды (это главный вопрос, вогнавший в ступор)?

Эти моды - "кусочки" электромагнитного поля. Электромагнитное поле - это динамическая система, готовая к тому, чтобы её как-то возбудили, а когда нет возбуждений - спокойно сидящая в каком-то нейтральном положении. Вот и моды - это отдельные такие динамические системки (подсистемы). Когда нет фотонов - они сидят в нейтральном положении. В квантовом случае - на уровне $n=0.$

max077 в сообщении #973163 писал(а):
Я правильно понимаю, что в таком рассмотрении фотоны вовсе не частицы, а нечто совсем иное?

В таком рассмотрении - да. Но можно потом перейти обратно к координатному представлению, и тогда фотон получается похожим на обычную частицу из квантовой механики. У него будет некоторое подобие волновой функции: плоская волна, или волновой пакет, или что-то ещё. В зависимости от того, какие спектральные составляющие в нём присутствуют. Можно даже собрать стационарное состояние - например, стоячую волну в резонаторе с зеркальными стенками. Так что, это понятие фотона - не отменяет другого представления о фотоне, а дополняет и формализует его.

-- 03.02.2015 21:03:40 --

max077 в сообщении #973163 писал(а):
Прошу прощения, если вопросы глупые, но я еще школьник. Учусь понемногу.

Ого! Для школьника вопросы очень крутые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение03.02.2015, 22:05 


12/01/15

39
Munin в сообщении #973203 писал(а):
Для начала, вы знакомы со вторичным квантованием многочастичных систем в квантовой механике? Примерно ЛЛ-3 глава 9.


Нет пока что.

Munin в сообщении #973203 писал(а):
Бесконечно много.

Если вы возьмёте ящик, и зададите на его стенках граничные условия, то в ящике будет бесконечный ряд таких колебаний, как в ряде Фурье. Если вы возьмёте бесконечное пространство (на бесконечности надо будет тоже задать граничные условия), то получится непрерывный спектр таких колебаний, как в интеграле Фурье. Обычно физически удобно рассматривать ящик, а потом устремлять его размеры к бесконечности, или просто брать достаточно большими, чтобы стенки ящика не влияли ни на какую физику внутри.


То есть в реальной вселенной их тоже бесконечно много (этих осцилляторов)? И каждый осциллятор занимает сразу все пространство, имеет свою частоту и другие величины?

Munin в сообщении #973203 писал(а):
Да.

Более точно, уровень $n$ представляет собой $n$ фотонов, совершенно одинаковых (частота, длина волны, направление движения, поляризация - это всё заложено в номер осциллятора; фаза - это состояние колебания на уровне $n$). Между собой они неразличимы, тождественны. Тут очень легко понять эту неразличимость: фотоны неразличимы так же, как единицы "внутри" натурального числа.


Чисто логически: наверное этих уровней у каждого осциллятора тоже бесконечно много.

В таком представлении очень сложно понять движение отдельных фотонов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение03.02.2015, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
max077 в сообщении #973237 писал(а):
Нет пока что.

Тогда для начала ознакомьтесь. А то вы не знаете, что значат слова "вторичное квантование" вообще.

max077 в сообщении #973237 писал(а):
То есть в реальной вселенной их тоже бесконечно много (этих осцилляторов)? И каждый осциллятор занимает сразу все пространство, имеет свою частоту и другие величины?

Ну да. Если отвлечься от вопросов о размере Вселенной :-)

Не забывайте, что это всего лишь математическое описание, эквивалентное обычному представлению, что в каждой точке пространства есть какой-то вектор электрического, и какой-то вектор магнитного поля. Можно так считать, а можно этак.

max077 в сообщении #973237 писал(а):
Чисто логически: наверное этих уровней у каждого осциллятора тоже бесконечно много.

Да. $n=0,1,2,\ldots$ и до бесконечности. Это часть теории осциллятора.

У атома, например, тоже есть уровни от 1 до бесконечности, но их энергия растёт не бесконечно. По энергии, эти уровни сгущаются к некоторому пределу, который называется энергия ионизации. Пока электрону атома дают энергию, достаточную для перехода на уровень $n,$ он становится дальше от ядра, но остаётся в атоме. А когда он получает энергию ионизации, то удаляется на бесконечное расстояние, то есть по сути, выходит из атома. И дальше идёт непрерывный диапазон значений энергии, от энергии ионизации до бесконечности - все они соответствуют тому, что электрон отрывается от атома, и получает вдобавок ещё какую-то кинетическую энергию, то есть снаружи атома летит ещё с какой-то скоростью.

А у осциллятора не так. У него непрерывного диапазона никогда не наступает: считается, что вырвать частицу из осциллятора нельзя никогда. И энергии этих уровней
$$E_n=(n+\tfrac{1}{2})\hbar\omega=(n+\tfrac{1}{2})h\nu,$$ где $\hbar$ и $h=2\pi\hbar$ - постоянные Планка (по двум соглашениям), $\nu$ - частота колебаний осциллятора (для пружинного маятника $\nu=\sqrt{k/m},$ для математического маятника с малыми колебаниями $\nu=\sqrt{g/l\,}$), а $\omega=2\pi\nu$ - соответствующая циклическая частота. Как видите, уровни энергии расположены равномерно, как "лесенка" - это замечательное свойство квантового осциллятора. И минимальный уровень энергии равен не нулю, а $\tfrac{1}{2}\hbar\omega$ - это называется "энергия нулевых колебаний". Связано это с тем, что волновая функция осциллятора не может вся сжаться в начале координат, из-за соотношения неопределённостей, а должна как-то "размазаться" вокруг. И вот "хвосты" этой волновой функции приходятся как раз на области с ненулевой потенциальной энергией - вот и получается, что энергия даже нисшего состояния не нуль.

max077 в сообщении #973237 писал(а):
В таком представлении очень сложно понять движение отдельных фотонов.

Пространственное движение - да, сложновато. Приходится всё-таки переходить к координатному представлению.

Зато в таком представлении намного проще понять другие вещи, в других случаях сложные. Например, взаимодействие частиц, или наоборот, систему свободных невзаимодействующих полей.

-- 03.02.2015 22:26:10 --

По какой книжке читаете вторичное квантование электромагнитного поля?
Как у вас дела с предварительным базисом: теормеханика, электродинамика, СТО, квантовая механика? Математика: ряд и преобразование Фурье?

-- 03.02.2015 22:36:36 --

Если вам лень открывать Мессиа, то хотя бы посмотрите вот это:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator
Если у вас как у школьника с английским не очень, то можете хотя бы это:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Квантовый_гармонический_осциллятор
а по первой ссылке хотя бы посмотрите картинки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение03.02.2015, 22:36 


12/01/15

39
Munin в сообщении #973249 писал(а):
Не забывайте, что это всего лишь математическое описание, эквивалентное обычному представлению, что в каждой точке пространства есть какой-то вектор электрического, и какой-то вектор магнитного поля. Можно так считать, а можно этак.


А как можно считать иначе, то есть, как Вы сказали, "этак"?

Munin в сообщении #973249 писал(а):
По какой книжке читаете вторичное квантование электромагнитного поля?
Как у вас дела с предварительным базисом: теормеханика, электродинамика, СТО, квантовая механика? Математика: ряд и преобразование Фурье?


Я рискнул прочитать ЛЛ, однако углубленно пока что не в состоянии. Поэтому, думаю, придется начать с чего то менее крутого.

-- 04.02.2015, 01:40 --

Munin в сообщении #973249 писал(а):
Если вам лень открывать Мессиа, то хотя бы посмотрите вот это:
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_ha ... oscillator

Если у вас как у школьника с английским не очень, то можете хотя бы это:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Квантовый_гармонический_осциллятор

а по первой ссылке хотя бы посмотрите картинки.


Эти статьи я читал. Но вопросов от них стало больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение03.02.2015, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
max077 в сообщении #973253 писал(а):
А как можно считать иначе, то есть, как Вы сказали, "этак"?

Это как раз представлять себе поле как бесконечное множество осцилляторов. Поле в каждой точке вычисляется как сумма по всем осцилляторам,
$$\mathbf{E}=\sum\limits_{\mathbf{k}}\mathbf{E}_{\mathbf{k}},\qquad\mathbf{H}=\sum\limits_{\mathbf{k}}\mathbf{H}_{\mathbf{k}}.$$ Дальше, в каждом осцилляторе его поля во всём пространстве зависят всего-навсего от двух чисел:
$$\begin{gathered}\mathbf{E}_{\mathbf{k}}=-\sqrt{\dfrac{4\pi}{V}}(ck\,\mathbf{Q}_{\mathbf{k}}\sin\mathbf{kr}+\mathbf{P}_{\mathbf{k}}\cos\mathbf{kr}),\\\mathbf{H}_{\mathbf{k}}=-\sqrt{\dfrac{4\pi}{V}}\dfrac{1}{k}(ck[\mathbf{kQ}_{\mathbf{k}}]\sin\mathbf{kr}+[\mathbf{kP}_{\mathbf{k}}]\cos\mathbf{kr}).\\\end{gathered}$$ Эти числа называются: $\mathbf{Q}_{\mathbf{k}}$ - канонической координатой осциллятора поля, а $\mathbf{P}_{\mathbf{k}}$ - каноническим импульсом. Это понятия из теоретической механики, см. ЛЛ-1. Вот множество всех этих $\mathbf{Q}_{\mathbf{k}},\mathbf{P}_{\mathbf{k}},$ расположенных в пространстве волновых векторов, описывает поле не хуже, чем величины векторов поля, заданные заданные в точках обычного (координатного) пространства. Разложение поля на осцилляторы, напоминаю, ЛЛ-2 § 52, формулы я списал оттуда, обозначения могут слегка отличаться от ЛЛ-4.

-- 03.02.2015 23:00:39 --

max077 в сообщении #973253 писал(а):
Эти статьи я читал. Но вопросов от них стало больше.

Тогда вам надо основательно прочитать квантовую механику, примерно хотя бы первые три главы ЛЛ-3, и/или ФЛФ хотя бы 8 том, и как я уже сказал, Мессиа главу 12.

Ну, или задавайте вопросы здесь, может быть, их не так уж много, и они не такие уж страшные. Что такое волновая функция, вы себе представляете?

-- 03.02.2015 23:04:59 --

Munin в сообщении #973263 писал(а):
Разложение поля на осцилляторы, напоминаю, ЛЛ-2 § 52, формулы я списал оттуда, обозначения могут слегка отличаться от ЛЛ-4.

Да не, вроде, всё так же, только индекса поляризации $\alpha$ явно не выписано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение03.02.2015, 23:05 


12/01/15

39
Благодарен. Наверное я неправильно понял то, что Вы написали. Я подумал, что есть описание ЭМ поля, в котором оно присутствует не в каждой точке пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение03.02.2015, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А, конечно, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение04.02.2015, 10:21 


12/01/15

39
Munin в сообщении #973270 писал(а):
А, конечно, нет.


Состояние $n=0$ реализуется в какой ни будь точке реальной вселенной, или это абстракция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение04.02.2015, 12:12 


12/01/15

39
Попробую резюмировать все, как я понял.

Электромагнитное поле состоит из бесчисленного количества мод (независимых квантовых гармонических осцилляторов). Как на картинке (этот ряд можно продолжать бесконечно, хотя на картинке их всего три).

Изображение

У каждого осциллятора своя частота и свои уровни энергии (про другие величины не знаю). Только тут непонятка: если поле состоит из мод с любой частотой (в том числе и бесконечно огромной), то почему мы их не замечаем?

Дальше. Каждый такой осциллятор имеет бесконечные энергетические уровни. Как на картинке:

Изображение

Основное состояние ($n=0$) это состояние без фотонов, но даже так осциллятор продолжает колебаться. Добиться такого состояния в реальной вселенной невозможно, поскольку для этого придется убрать все фотоны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение04.02.2015, 15:38 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
max077 в сообщении #973453 писал(а):
Попробую резюмировать все, как я понял.



Ну что, для школьника весьма и весма неплохо. Все верно понято. И вопрос возник вполне разумный:

-- Ср фев 04, 2015 19:46:47 --

max077 в сообщении #973390 писал(а):
Состояние $n=0$ реализуется в какой ни будь точке реальной вселенной, или это абстракция?



Здесь нужно понимать вот что. Осцилляторы (точнее возбуждения осцилляторов) --- это фотоны С ОПРЕДЕЛЕННЫМ ИМПУЛЬСОМ. Такие фотоны действиельно "размазаны по всей Вселенной". Но могут быть фотоны, у которых импульс (а значит и энергия) имеет некоторую неопределенность. Такие фотоны уже не "размазаны по всей Вселенной", а локализованы в некой пространственной области. Но тогда это не осциляторы. И нет, в принципе, никакой разницы представлять себе квантовое ЭМ поле как набор "размазанных" фотонов или в какой-то мере локализованных (волновых пакетов). Это, своего рода, просто замена координат (но не в реальном геометрическом пространстве, а в функциональном). Но с осциляторами работать радикально проще. Поэтому вся теория строится для осцилляторов а потом, буде случится такая нужда, несложно перейти и к волновым пакетам.

-- Ср фев 04, 2015 19:49:35 --

max077 в сообщении #973453 писал(а):
Только тут непонятка: если поле состоит из мод с любой частотой (в том числе и бесконечно огромной), то почему мы их не замечаем?



А с чего бы мы их замечали? Это вакуум --- состояние поля в котором все осцилляторы находятся в состоянии $n=0$. Кстати, в некоторых специальных экспериментах эти "нулевые колебания поля" можно все же "ущучить". Почитайте про эффект Казимира.

Поймите очень важную вещь. С точки зрения квантовой теории поля (КТП) вакуум это вовсе не какое-то "пустое место" в котором летают или не летают частицы. Это состояние поля (не только электромагнитного, всех других полей тоже) в котором все осцилляторы находятся в основном состоянии. Правда, ситуация осложняется в том случае, если учитывается взаимодействие полей (нелинейность полей). Тогда правильнее сказать что вакуум --- это состояние поля с самой маленькой энергией, какая только может быть (основное состояние). При учете взаимодействия вакуум уже не так прост, как в теории без взаимодействия (все $n=0$ и все дела!). В теории с взаимодействием математическое описание вакуума -- это уже непростая задача, которую можно решить уже лишь только приближенно.

-- Ср фев 04, 2015 20:09:11 --

max077 в сообщении #973253 писал(а):
Я рискнул прочитать ЛЛ, однако углубленно пока что не в состоянии.



Помнтся я начал изучение теорфизики с довольно "крутой", "круче" чем ЛЛ, книжки Боголюбова и Ширкова (до этого, правда, прочитал Блохинцева). Ничего не понял. Но прочитал. Всю. :-) Зато в результате я понял что мне надо изучать чтобы понять Боголюбова-Ширкова. Правда, потом пришлось сделать еще несколько итераций (прочитать книжки, которые нужны чтобы понять книжки, нужные для чтения Боголюбова-Ширкова). Читать нужно много и не обязательно подряд, главное -- много и в конце концов "добраться до начала" :-) Не нужно бояться того, что что-то ПОКА непонятно. И еще "поползать" неоднократно от начала к концу и обратно. Только тогда можно ДЕЙСТВИТЕЛЬНО что-то понять.

-- Ср фев 04, 2015 20:19:28 --

max077 в сообщении #973163 писал(а):
Они уничтожаемы, или нет?



Сами осцилляторы --- неуничтожаемы. А вот возбуждения этих осцилляторов (фотоны) вполне рождаемы и уничтожаемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение04.02.2015, 16:57 


12/01/15

39
Alex-Yu в сообщении #973518 писал(а):
Ну что, для школьника весьма и весма неплохо. Все верно понято. И вопрос возник вполне разумный:


Спасибо.

Alex-Yu в сообщении #973518 писал(а):
Такие фотоны действиельно "размазаны по всей Вселенной". Но могут быть фотоны, у которых импульс (а значит и энергия) имеет некоторую неопределенность. Такие фотоны уже не "размазаны по всей Вселенной", а локализованы в некой пространственной области.


То есть это два разных взгляда на фотон. Но вопрос связан с другим, но, наверное я уже сам на него ответил тут:

max077 в сообщении #973453 писал(а):
Основное состояние ($n=0$) это состояние без фотонов, но даже так осциллятор продолжает колебаться. Добиться такого состояния в реальной вселенной невозможно, поскольку для этого придется убрать все фотоны.


Alex-Yu в сообщении #973518 писал(а):
А с чего бы мы их замечали? Это вакуум --- состояние поля в котором все осцилляторы находятся в состоянии $n=0$. Кстати, в некоторых специальных экспериментах эти "нулевые колебания поля" можно все же "ущучить". Почитайте про эффект Казимира.


Нет, я не про физический вакуум. Речь идет о разных модах ЭМ поля, каждая из которых имеет свою частоту и свое количество фотонов. То есть это уже не вакуум, насколько я понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение04.02.2015, 18:07 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
max077 в сообщении #973574 писал(а):
Речь идет о разных модах ЭМ поля, каждая из которых имеет свою частоту и свое количество фотонов. То есть это уже не вакуум, насколько я понимаю.



Если каждая мода в состоянии $n=0$, то это именно вакуум и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение04.02.2015, 18:25 


12/01/15

39
Alex-Yu в сообщении #973604 писал(а):
Если каждая мода в состоянии $n=0$, то это именно вакуум и есть.


Если. Но в реальной вселенной такое состояние не реализуемо и не реализуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторичное квантование
Сообщение04.02.2015, 18:36 
Заслуженный участник


21/08/10
2454
max077 в сообщении #973614 писал(а):

Если. Но в реальной вселенной такое состояние не реализуемо и не реализуется.


Во всей вселенной никакое состояние (и вообще что-либо) никогда не реализуется. Всегда где-то далеко есть что-то еще, и мы не знаем что именно. Такими филосовскими вопросами физика не занимается. Физика всегда имеет дела, может и с большим, но конечным объемом. В конечном объеме (в неком "ящике") вполне можно приготовить поле в состоянии вакуума. Более того, это даже делается реально в технических устройствах (в квантовых линиях связи). При этом что там за пределами рассматриваемого объема никого не интересует и вообще не рассматривается. Поле --- это то, что внутри нужного нам "ящика". А что за пределами "ящика" --- это оставьте философам :-) Это уже не наука, это --- болтовня пустопорожняя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group