Переходные процессы в электрических цепях.

[Dmitry9876]

А, теперь понятно, допустим время от $0$ до $t$ - текущее время, начальный ток $0$, а текущий - $I_1$
$\int_{0}^{I_1} dI = - \frac {U}{L} \int_{0}^{t} dt $ и в итоге получается $I_1 = - \frac {Ut}{L}$
Примерно так и решаются все дифференциальные уравнения 1 порядка?

[Munin]

Нет, только те из них, которые с разделяющимися переменными. А таких довольно немного (хотя в задачах по физике для школьников и младших курсов - довольно много).

Довольно много уравнений в физике решаются как линейные с постоянными параметрами, однородные и неоднородные. Для них тоже есть довольно простая теория. А более сложные дифференциальные уравнения в физике встречаются редко, и разбираться с ними гораздо проблематичнее.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #972353 писал(а):

Константу писать не надо, надо писать определённые интегралы.

Ну почему же.... Можно (а иногда, в случаях посложнее, даже удобнее) писать неопределенные интегралы и константы. Константы определяются с помощью начальных условий: любое дифуравнение имеет бесконечно много решений, чтобы выбрать одно нужны начальные условия. Ну еще нужно помнить что одна произвольная константа плюс другая произвольная константа -- это тоже просто произвольная константа. Так же с умножением, делением...

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #972489 писал(а):

Ну почему же.... Можно (а иногда, в случаях посложнее, даже удобнее) писать неопределенные интегралы и константы.

Конечно. Но я старался дать быстры и практический совет. Я уверен, что когда дело дойдёт до курса ОДУ, всё это ТС узнает и сам.

Alex-Yu в сообщении #972489 писал(а):

Так же с умножением, делением...

Почти так же. Надо иметь в виду нуль. И вообще, скажем, при взятии корня, возведении в степень, логарифмировании и антилогарифмировании - внимательно смотреть на преобразование области значений.

[мат-ламер]

Вообще-то исходная задача не на дифференциальные уравнения. Если производная функции постоянна, то как будет выглядеть сама функция? Топикстартеру уже в первом посту интуитивно было ясно, что это линейная функция. Но как это обосновать? Если хочется формул, то можно просто взять интеграл от константы. Результат - линейная функция. Но физики простых путей не ищут. И это правильно. Зато опыт манипулирования с формулами наращивается.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #973197 писал(а):

Вообще-то исходная задача не на дифференциальные уравнения.

ТС это знает, и хочет использовать задачу как упражнение на дифференциальные уравнения. Его право, и благородное намерение.

[Dmitry9876]

Да, я хотел применить к практике вычисления и разобраться как и откуда получаются эти выражения, несмотря на то что все уже посчитано и можно было использовать уже готовый результат.
Вот сейчас смотрю задачу чуть сложнее, хотя добавил в схему всего - лишь 1 элемент. Это разряд индуктивности на резистор, предположим что каким то образом в нулевой начальный момент времени в индуктивности была запасена энергия и тек некий ток... начиная с нулевого момента индуктивность рассеивает энергию на резисторе и нужно получить зависимость тока от времени как и предыдущей задаче. Тут тоже интуитивно понятна функция которая должна получиться в результате) Т.к. внешние силы не действуют в отличие от прошлой задачи, система предоставлена сама себе, а в природе чаще всего все процессы текут по экспоненциальному закону, плюс скорость спада тока зависит зависит от его же величины - все на то и указывает.
Выражение для такой цепи: $RI + L\frac{dI}{dt}=0$
Преобразуем его и разделим переменные : $\frac{dI}{I}=-\frac{dt R}{L}$
$\int\frac{dI}{I}=-\frac{R}{L}\int dt
$ln|I| + C = -\frac{R}{L}(t+C)$
Вот тут и натуральный логарифм появился а значит и экспоненциальная зависимость. Правильно я начал? Как дальше быть с константами?

[Munin]

Во-первых, от констант можно избавиться, вернувшись на шаг назад, и расставив пределы интегрирования, как я вам уже говорил.

Во-вторых, есть другой способ, как вам сказал Alex-Yu. Для начала, надо понимать, что справа и слева у вас разные константы. Обозначим их, например, как $C_1$ и $C_2.$ Дальше, вы должны записать окончательную формулу, удерживая эти константы. У вас получится какое-то решение, но не до конца ещё определённое, а зависящее от этих констант. Пусть это будет какая-то функция $I=f(t,C_1,C_2).$

А дальше вы должны записать начальные условия. Например, вы знаете, что в начальный момент времени $0$ у вас тёк ток $I_0.$ Значит, вы должны записать условие:

$$f(0,C_1,C_2)=I_0.$$

Хорошо. Но это пока только одно уравнение. А констант у вас две. Но вы можете подставить это $I_0$ в выражение для цепи - в дифференциальное уравнение:

$$RI_0+L\dfrac{dI}{dt}=0$$

- и получить отсюда значение производной в начальный момент: $\dfrac{dI}{dt}(0)=I'_0.$ Теперь и его можно использовать для записи условия:

$$\dfrac{df}{dt}(0,C_1,C_2)=I'_0.$$

И вот теперь, у вас есть два уравнения, и две неизвестных: $C_1$ и $C_2.$ И решая эту систему уравнений, вы можете эти неизвестные найти - зафиксировать константы. И подставив их, получить окончательную формулу переходного процесса.

[OlegCh]

Munin в сообщении #973820 писал(а):

Для начала, надо понимать, что справа и слева у вас разные константы.

Да какие две разные константы! Константа получается одна (ну перенесите их в одну сторону да сложите - вот и будет одна константа) и определяется из начальных условий.

(Оффтоп)

Морочите человеку голову только.

[Munin]

Точно. Что-то я не сообразил.

-- 05.02.2015 12:03:45 --

Но это работает только для этого типа уравнений. Вообще, при решении дифура, сколько будет интегралов - столько появится и констант.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #973973 писал(а):

Вообще, при решении дифура, сколько будет интегралов - столько появится и констант

Не-а. Какой порядок дифура, столько и констант. Совершенно очевидно, ессли представитьь себе численное решение методом Ньютона. Исходный дифур первого порядка.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #974143 писал(а):

Не-а. Какой порядок дифура, столько и констант.

Ну это да. Но кажется, какой порядок дифура, столько раз и интеграл надо будет взять.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #974171 писал(а):

Но кажется, какой порядок дифура, столько раз и интеграл надо будет взять.

Говорят, что когда кажется, креститься надо А вот возмем однородное линейное дифуравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. При этом вообще ни разу не надо брать интеграл (лишь характеристическое уравнение решить). А константы две.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #974203 писал(а):

При этом вообще ни разу не надо брать интеграл (лишь характеристическое уравнение решить).

Ну, это потому, что мы знаем Метод. А когда мы в детстве доказывали этот Метод, то мы как раз интегралы и брали. Нет, что ли?

-- 05.02.2015 18:35:30 --

Плохо то, что вся эта идеология на ДУЧП рассыпается...