Арифметическая прогрессия.

[Imperator]

Найти простые числа $p$, $q$ и $r$, для которых числа $p(p+1)$, $q(q+1)$ и $r(r+1)$ образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

[worm2]

У меня получилось после не очень большого перебора:
p = 61
q = 1783
r = 2521

Добавлено спустя 40 минут 59 секунд:

Идея в том, чтобы уравнение переписать в виде

$$2(2q+1)^2=(2p+1)^2+(2r+1)^2$$

и затем искать q и r в виде 2q+1 = (2p+1)x, 2r+1 = (2p+1)y, где x и y --- решения уравнения Пелля $2x^2=y^2+1$. Первое "перспективное" решение (x,y), по-моему --- (29, 41), а затем перебираем простые p, чтобы q = 29p+14 и r = 41p+20 также оказались простыми. Первое найденное p=61.

[Imperator]

worm2 писал(а):

У меня получилось после не очень большого перебора:
p = 61
q = 1783
r = 2521

Добавлено спустя 40 минут 59 секунд:

Идея в том, чтобы уравнение переписать в виде

$$2(2q+1)^2=(2p+1)^2+(2r+1)^2$$

и затем искать q и r в виде 2q+1 = (2p+1)x, 2r+1 = (2p+1)y, где x и y --- решения уравнения Пелля $2x^2=y^2+1$. Первое "перспективное" решение (x,y), по-моему --- (29, 41), а затем перебираем простые p, чтобы q = 29p+14 и r = 41p+20 также оказались простыми. Первое найденное p=61.

Я нашел еще одну тройку: $p=127$, $q=3697$ и $r=5227$.
Из Ваших рассуждений получается интересное тождество:
$p(p+1)+(41p+20)(41p+21)=2(29p+14)(29p+15)$. (*)
С помощью (*) можно найти еще несколько таких троек: выбирать простые $p$ таким образом, чтобы числа $(41p+20)$ и $(29p+14)$ оказывались тоже простыми.
P.S. Есть предположение, что таких троек бесконечно много. Более того, (*) дает такие простые числа.

[maxal]

Imperator писал(а):

$p(p+1)+(41p+20)(41p+21)=2(29p+14)(29p+15)$. (*)
С помощью (*) можно найти еще несколько таких троек: выбирать простые $p$ таким образом, чтобы числа $(41p+20)$ и $(29p+14)$ оказывались тоже простыми.
P.S. Есть предположение, что таких троек бесконечно много. Более того, (*) дает такие простые числа.

Таких троек очень много. Вот хотя бы только те, для которых $p<10^4$:

? forprime(p=2,10^4, q=41*p+20; r=29*p+14; if(isprime(q)&&isprime(r), print([p,q,r]) ))
[61, 2521, 1783]
[103, 4243, 3001]
[127, 5227, 3697]
[271, 11131, 7873]
[313, 12853, 9091]
[331, 13591, 9613]
[373, 15313, 10831]
[457, 18757, 13267]
[547, 22447, 15877]
[571, 23431, 16573]
[577, 23677, 16747]
[613, 25153, 17791]
[877, 35977, 25447]
[967, 39667, 28057]
[997, 40897, 28927]
[1201, 49261, 34843]
[1423, 58363, 41281]
[1597, 65497, 46327]
[2251, 92311, 65293]
[2287, 93787, 66337]
[2311, 94771, 67033]
[2713, 111253, 78691]
[2791, 114451, 80953]
[2887, 118387, 83737]
[3307, 135607, 95917]
[3433, 140773, 99571]
[3511, 143971, 101833]
[3697, 151597, 107227]
[3733, 153073, 108271]
[3847, 157747, 111577]
[4261, 174721, 123583]
[4327, 177427, 125497]
[4363, 178903, 126541]
[4483, 183823, 130021]
[4861, 199321, 140983]
[4951, 203011, 143593]
[5023, 205963, 145681]
[5407, 221707, 156817]
[5563, 228103, 161341]
[5743, 235483, 166561]
[6553, 268693, 190051]
[6571, 269431, 190573]
[6781, 278041, 196663]
[6991, 286651, 202753]
[7177, 294277, 208147]
[7333, 300673, 212671]
[7927, 325027, 229897]
[7963, 326503, 230941]
[8221, 337081, 238423]
[8263, 338803, 239641]
[8317, 341017, 241207]
[9157, 375457, 265567]
[9241, 378901, 268003]
[9283, 380623, 269221]
[9343, 383083, 270961]
[9697, 397597, 281227]
[9721, 398581, 281923]
[9787, 401287, 283837]
[9817, 402517, 284707]