Диофантово уравнение со степенями

[Профессор Снэйп]

Найти все целочисленные решения уравнения

$$ x^{y^2} = y^{x^3} $$

[ИСН]

Так; $2^{4^2} = 4^{2^3}$; думаю дальше...
(Ясно: x и y - степени кого-то одного, скажем, $x=n^i,\ y=n^j$. Тогда $i\cdot n^{2j} = j\cdot n^{3i}$.
И чо?)

[Профессор Снэйп]

ИСН писал(а):

Ясно: x и y - степени кого-то одного...

Почему так? Поясните, не понимаю.

[Алексей К.]

Вроде как сводится к $x^{2m-3}=m$ (и при этом $y=x^m$), и предложенное ИСН решение единственно.
Пытаюсь учиться у ИСН краткости...

[Профессор Снэйп]

Алексей К. писал(а):

Вроде как сводится к $x^{2m-3}=m$ (и при этом $y=x^m$)

Ну да, воистину сводится. Почему "вроде"?

Алексей К. писал(а):

и предложенное ИСН решение единственно.

Строгости ради надо отметить, что есть ещё "тривиальные" решения. Например, $x=y=1$ или $x=y=-1$. С нулями уж ладно: "решение" $x=y=0$ обсуждалось в соседнем подфоруме

[ИСН]

Здесь нет краткости с моей стороны, а есть (ну, было) непонимание. Если бы я видел весь путь до ответа, а не смутный свет в приблизительно верном направлении, я бы намекнул уж как-нибудь поизящнее.
А задача-то красивая.

[Алексей К.]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну да, воистину сводится. Почему "вроде"?

По той же причине, о которой днём заикались, когда я ось и асимптоту перепутал (см. subj.): проделать всё уверенно и обоснованно не было возможности... тяп-ляп --- вроде так...

ИСН писал(а):

Здесь нет краткости с моей стороны...

Краткость присуща всем (в смысле $> 99$%) Вашим постам. Где-то я уже это отмечал, заменив слово "краткость" известным синонимом...

[Профессор Снэйп]

ИСН писал(а):

А задача-то красивая.

Да, с чем согласен, так это с этим. Сведение исходного уравнения к $x^{2m-3} = m$ действительно можно проделать очень изящно.

Хотя, вероятно, существуют и разные громоздкие пути достижения того же самого.

[juna]

Хочу предложить еще одну задачу на степенные диофантовы уравнения.

Доказать, что диофантово уравнение $2^y-5^x=3$ имеет решение только при $x=1,y=3$ или $x=3,y=7$.

[maxal]

juna писал(а):

Хочу предложить еще одну задачу на степенные диофантовы уравнения.

Доказать, что диофантово уравнение $2^y-5^x=3$ имеет решение только при $x=1,y=3$ или $x=3,y=7$.

Это легко показать, рассмотрев данное уравнение, например, по модулю 768.
А вообще подобные задачи уже обсуждали здесь и здесь.

[Kid Kool]

Воспользуемся тем, что $a^b > b^a$ тогда и только тогда, когда a > b при $a, b \geqslant 1.$.

Если $x < y^2$, то $x^{y^2} < (y^2)^x = y^{2x}$, а тогда $x^3 < 2x$, что дает нам тривиальное решение. Значит $x \geqslant y^2$, следовательно, $x^3 > y $ при y > 1. Тогда $y^{x^3} < (x^3)^y = x^{3y}$, значит, $y^2 < 3y$, откуда y < 3. y = 2 дает нам единственное нетривиальное решение.

Добавлено спустя 6 минут 10 секунд:

Ой, не обратил внимания что решения могут быть отрицательными. Если x < 0, то получаем еще одно тривиальное решение ввиду того, что x^{y^2}y^{-x^3} = 1. А если x > 0, то и y > 0.

[Профессор Снэйп]

Kid Kool писал(а):

Воспользуемся тем, что $a^b > b^a$ тогда и только тогда, когда a > b при $a, b \geqslant 1.$.

С чего Вы вдруг решили, что это так?

Вот, например, $2^5 = 32 > 25 = 5^2$, однако неверно, что $2 > 5$.

[Kid Kool]

Профессор Снэйп писал(а):

Kid Kool писал(а):

Воспользуемся тем, что $a^b > b^a$ тогда и только тогда, когда a > b при $a, b \geqslant 1.$.

С чего Вы вдруг решили, что это так?

Вот, например, $2^5 = 32 > 25 = 5^2$, однако неверно, что $2 > 5$.

Да, поторопился. А какое у Вас изящное сведение к $x^{2m-3} = m$? У меня - так:

Уравнение можно записать в виде $\frac {y^2} {x^3} = x^{2\frac {y^2} {x^3}-3}$, а далее - если целое число в рациональной степени рационально и равно t, то либо t, либо (1/t) - целое (в зависимости от знака степени). Поэтому либо $\frac {y^2} {x^3}$, либо $\frac {x^3} {y^2}$ целое. В обоих случаях приходим к уравнению вида $t^{2m-3} = m$.

[Профессор Снэйп]

Kid Kool писал(а):

Да, поторопился. А какое у Вас изящное сведение к $x^{2m-3} = m$? У меня - так...

Сначала заметим, что $2^z > z$ при любом натуральном $z$. Этот простой факт доказывается по индукции.

Пусть теперь $x^{y^2} = y^{x^3}$ и $x,y \geqslant 2$ --- натуральные числа.

1) $x < y$. Действительно, $y^{x^3} = x^{y^2} < 2^{xy^2} \leqslant y^{xy^2$ и $x^3 < xy^2$.

2) $x^3 < y^2$. Действительно, $y^{x^3} = x^{y^2} < y^{y^2}$.

3) $3x^3 < 2y^2$. Действительно, $x^{3x^3} < y^{2x^3} = x^{2y^2}$.

4) Имеем $2y^2 = 3x^3 + t$ для некоторого натурального $t > 0$. Отсюда $y^{2x^3} = x^{2y^2} = x^{3x^3} \cdot x^t$, $(y^2/x^3)^{x^3} = x^t$ и $y^2 = mx^3$ для некоторого натурального $m > 1$.

5) Из исходного уравнения $x^{2mx^3} = x^{2y^2}= y^{2x^3} = (mx^3)^{x^3}$, откуда $x^{2m} = mx^3$ и $m = x^{2m-3}$.

[Профессор Снэйп]

По мотивам предыдущего обсуждения сформулирую ещё 2 задачи.

1) Решить в целых числах уравнение $x^{y^z} = y^{x^{z+1}}$.

2) Найти все целочисленные решения неравенства $x^y < y^x$.