Преобразования Лоренца

[Rentgenium-112]

Формуле преобразований Лоренца:
$x^\atpha=\Lambda^\alpha_\beta&x^\beta+a^\alpha$
Меня интересуют константы $\Lambda^\alpha_\beta&$ и $a^\alpha$
Что они из себя представляют?

[Munin]

Зависит от конкретного преобразования, их ведь много. Например, чтобы совершить изменение скорости (это называется "буст") в направлении оси $x$ на величину $v,$ используются такие преобразования Лоренца:

$$\begin{cases}ct'=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\left(ct-\dfrac{vx}{c}\right)\\x'=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}(-vt+x)\\y'=y\\z'=z,\end{cases}$$

так что в этом частном случае константы имеют вид:

$$\Lambda^\alpha_\beta=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}&\dfrac{-v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}&0&0\\\dfrac{-v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}&\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix},\qquad a^\alpha=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}.$$

Всего для выбора конкретных преобразований Лоренца необходимо задать 10 различных параметров, таких как $v,$ и поэтому в общем виде формулы довольно громоздки. К тому же они сами по себе неинтересны, поскольку образуются по более простому принципу. Для него достаточно указать, что $\Lambda^\alpha_\beta$ - произвольная матрица, ортогональная по псевдоевклидовой метрике, а $a^\alpha$ - произвольный вектор. Остальное дело техники, изложенной в учебнике по линейной алгебре.

[Rentgenium-112]

А $x^\beta$ - это вектор из другой системы координат?

-- 01.02.2015, 23:30 --

Вы написали, что $a^\alpha$ является вектор-столбцом, все элементы которого равны 0. Так зачем же его учитывать при расчёте?
Или под нулями подразумевались произвольные числа.

[Munin]

Rentgenium-112 в сообщении #972378 писал(а):

А $x^\beta$ - это вектор из другой системы координат?

Да.

Rentgenium-112 в сообщении #972378 писал(а):

Вы написали, что $a^\alpha$ является вектор-столбцом, все элементы которого равны 0.

Это в одном частном случае, который я указал. В других частных случаях они будут не равны нулю.

Rentgenium-112 в сообщении #972378 писал(а):

Или под нулями подразумевались произвольные числа.

В общем случае - произвольные числа, в частном случае - нули. Нет, под нулями я не подразумеваю произвольных чисел.

[Rentgenium-112]

Константы $\Lambda^\alpha_\beta$ и $a^\alpha$ имеют какие-нибудь конкретные названия?

[Munin]

Матрицы $\Lambda^\alpha_\beta$ - это матрицы преобразования Лоренца. Векторы $a^\alpha$ - это векторы параллельного переноса.

Упражнение: пусть координаты $ct',x',y',z'$ отличаются от $ct,x,y,z$ на буст на скорость $u$ вдоль оси $x$ (как расписано выше), а координаты $ct'',x'',y'',z''$ отличаются от $ct',x',y',z'$ на буст на скорость $v$ вдоль оси $y'$ (по аналогии). Выразите $ct'',x'',y'',z''$ через исходные координаты $ct,x,y,z,$ и выпишите итоговую матрицу преобразования Лоренца.

[Rentgenium-112]

Прямо на форуме писать не буду (займёт много места и времени, да и в написании формул я не очень силён), а вот дома на бумажке порешаю и напишу Вам ответ. Проверите.

[Munin]

Хорошо.

И вообще, запомните: читать учебники как детектив нельзя. Чтение учебника должно сопровождаться выполнением упражнений или хотя бы самостоятельных выкладок, на каждом шаге, на каждом параграфе (кроме вступлений всяких :-).

[Rentgenium-112]

Сколько не думал, не догадался как решать. Munin, напишите пожалуйста решение. В следующий раз хоть не стыдно будет. Всё таки первую настоящую задачу по этой области решаю. Если можно, то и ещё парочку каких-нибудь не простых и разных с решениями напишите. Буду благодарен.

[Sicker]

Подсказка - возьмите произведение матриц

[Munin]

Rentgenium-112 в сообщении #972618 писал(а):

Сколько не думал, не догадался как решать.

Чего тут догадываться? Вы знаете, что такое подстановка одного уравнения в другое уравнение? Например, что будет, если уравнение $a=b^2+c^3$ подставить в уравнение $a+b^3+c^2=0$?

Rentgenium-112 в сообщении #972618 писал(а):

В следующий раз хоть не стыдно будет.

Вам всегда будет стыдно, когда вы хватаетесь за книгу, а не знаете азбуки, букв, которыми она написана.

То, что вы в 7 классе, мы уже поняли. Но похоже, что вы опередили школьную программу. Вопрос в том, насколько? Знаете ли вы линейную алгебру за 1 курс? Математический анализ за 1 курс?

Rentgenium-112 в сообщении #972618 писал(а):

Всё таки первую настоящую задачу по этой области решаю.

Это ещё далеко не настоящая задача, и ещё далеко не по этой области.

[Rentgenium-112]

Было кому меня учить... Тогда бы точно таких глупых вопросов не задавал.

-- 02.02.2015, 19:31 --

По физике уж точно далеко ушёл, а линейная алгебра...

-- 02.02.2015, 19:39 --

Вы так и не написали подробного решения и пары задач

[Munin]

Rentgenium-112 в сообщении #972636 писал(а):

Было кому меня учить... Тогда бы точно таких глупых вопросов не задавал.

Можно учиться и самостоятельно. Главное: понимать, как учиться, чему вы учитесь, и по каким источникам.

Если будете много общаться, скажем, на форуме, то у вас могут сложиться отношения типа "ученик - учитель" с некоторыми специалистами, регулярно отвечающими на ваши вопросы.

Rentgenium-112 в сообщении #972636 писал(а):

Вы так и не написали подробного решения и пары задач

Да, я не хочу. Я хочу подтолкнуть вас к самостоятельному решению этой простой задачи.

Вместо "пары задач" я вам задал одну попроще, в post972623.html#p972623 . Вы говорили, что понимаете язык формул - продемонстрируйте это.

Rentgenium-112 в сообщении #972636 писал(а):

По физике уж точно далеко ушёл, а линейная алгебра...

Физики без математики не бывает. По крайней мере, серьёзной физики, а не школьной. А вы, к тому же, схватились за ОТО - это далеко не первый раздел теоретической физики - самой математизированной части физики. Перед ОТО хорошо бы знать механику, теормеханику и теорию поля. А из математической подготовки: матанализ (2 курса), аналитическую геометрию и линейную алгебру (включая тензоры), дифференциальные уравнения (включая уравнения математической физики), и дифференциальную геометрию (строго говоря, в общих чертах её рассказывают в учебниках по ОТО). Это всё вузовские курсы.

[Rentgenium-112]

Цитата:

Если будете много общаться, скажем, на форуме, то у вас могут сложиться отношения типа "ученик - учитель" с некоторыми специалистами, регулярно отвечающими на ваши вопросы.

Например, с Вами.

Цитата:

Физики без математики не бывает

Я так и знал, что Вы это напишите. Да, я с Вами согласен, но всё же для того, чтобы понимать некоторые формулы (довольно большой объём) требуется лишь знание решения интегралов. А для расчёта и пайки схем математики требуется не больше чем 2+2 (конечно же я не занимаюсь чем-то более сложным, чем умножители напряжения, катушки
тесла, рации и т.п.).

Цитата:

Перед ОТО хорошо бы знать механику, теормеханику и теорию поля...

Полностью согласен с Вами. Неверное этим в ближайшее время и займусь. Если будут вопросы, то задам их здесь.

Цитата:

Да, я не хочу. Я хочу подтолкнуть вас к самостоятельному решению этой простой задачи

И правильно делаете. У Вас получается заинтересовать. Не то что у моего учителя физики в школе.

[Munin]

Rentgenium-112 в сообщении #972648 писал(а):

Да, я с Вами согласен, но всё же для того, чтобы понимать некоторые формулы (довольно большой объём) требуется лишь знание решения интегралов.

Чем дальше в физику вы уходите, тем меньше этот объём :-) И приходится добирать другие разделы математики.

Как у вас дела с векторами?

Rentgenium-112 в сообщении #972648 писал(а):

И правильно делаете. У Вас получается заинтересовать.

Ну ёлки-палки, а решение-то будет?

Ладно, вот совсем простой вопрос. Система уравнений:

$$\begin{cases}2x=6\\4y-x=5.\\\end{cases}$$

Решить. Объяснить, что и как вы делали.

-- 02.02.2015 20:05:47 --

Rentgenium-112 в сообщении #972648 писал(а):

Например, с Вами.

Пока об этом рано говорить.