Множество на прямой

[lofar]

Построить множество $E\subseteq\mathbb R$ такое, что $0<\mu(E\cap (\alpha;\beta))<\beta-\alpha$ для любого интервала $(\alpha;\beta)$. ($\mu$ — мера Лебега.)

[Профессор Снэйп]

Ну, в принципе, понятно что делать. Неохота расписывать строго. Напишу идею. Если она не удовлетворит, то изложу всё более формально.

Идея такова. Сначала строим на отрезке $[0,1]$ множество, подобное канторовскому совершенному множеству, но только положительной меры. Как? При построении канторовского множества на каждом шаге удаляется середина каждого из оставшихся отрезков, равная трети длины этого отрезка, так что получается множество, мера которого составляет $2/3$ от меры множества, имевшегося на предыдущем шаге. Если вырезать не треть, а меньшую часть середины, то мера множества, полученного на шаге $i+1$, будет равна мере множества, полученного на шаге $i$, умноженной на некоторую константу $\alpha_i \in (0,1)$. Можно подобрать $\alpha_i$-ые так, чтобы произведение $\prod_{i=1}^\infty \alpha_i$ было равно произвольному числу из интервала $(0,1)$ и получить множество произвольной положительной меры $\beta_0$.

Далее. Дополнение к тому, что получилось --- это объединение счётного числа отрезков. Каждый из этих отрезков заполняем такой же фигнёй. Мера множества при этом увеличится на некоторую величину $\beta_1$, которую тоже можно выбрать произвольной из интервала $(0, 1 - \beta_0)$. Дополнение к тому, что получилось, опять есть объединение счётного числа отрезков. Каждый из отрезков опять заполняем той же фигнёй, мера увеличивается на $\beta_2$. И так далее. Можно подобрать $\beta_i$-ые так, чтобы сумма $\sum_{i=0}^\infty \beta_i$ была равна $\gamma$ для произвольного заранее выбранного $\gamma$ из $(0,1)$.

В конце концов получим подмножество отрезка $[0,1]$, имеющее меру $\gamma$. "Растиражируем" его на всю действительную прямую и получим искомое множество $E$.

[lofar]

Мой вариант совпадает с Вашим*.

* Только дополнение, о котором Вы говорите, распадается на интервалы, а не на отрезки.

[Профессор Снэйп]

lofar писал(а):

Мой вариант совпадает с Вашим.

Только дополнение, о котором Вы говорите, распадается на интервалы, а не на отрезки.

Ой! А я при изложении общей идеи вообще не обращал внимания на такие тонкости. Интервалы, отрезки --- всё в кучу смёл.

Думаю, что если бы стал всё строго расписывать --- использовал бы полуинтервалы. С ними должно получиться наиболее изящно.