Непрерывность по аргументу

[Sinoid]

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я понял следующий пример:
.
Я понял это так: Вот рисунок:

Когда точка $M$ стремится к точке $A$ по вектору, к примеру$u$, $f(M)$ стремится к нулю, а, значит, т.к. $f(A)=0$, то и $|f(M)-f(A)|\to0$, а если точка $M$ стремится к точке $A$ по вектору, скажем, $u_1$, то $f(M)$, а значит, и $|f(M)-f(A)|$ стремится к $2\pi$, то есть получаем зависимость от направления, а потому предела не существует. А вот для отрицательной полуоси все иначе. Там, когда точка $M$ стремится к точке $B$ по векторам $\overrightarrow{v}$ или $\overrightarrow{v_1}$, $f(M)$ стремится к одному и тому же $f(B)$, равному $\pi$, только с разных сторон, а потому существует $\underset{z\to B}{\lim}f(z)$?

[Mihr]

Насчёт точки $A$ всё верно. Насчёт точки $B$ - не совсем. Дело в том, что для существования предела функции в точке недостаточно существования и равенства пределов по всем направлениям, "сходящимся" в данной точке. Здесь нужно, чтобы при любом способе стремления аргумента к $z_0$ функция стремилась к $f(z_0)$.

[Sinoid]

Mihr в сообщении #971014 писал(а):

Здесь нужно, чтобы при любом способе стремления аргумента к $z_0$ функция стремилась к $f(z_0)$.

Я это знаю, нарисовал просто для наглядности.

[Sinoid]

А вот интересно, можно ли доказать отсутствие других точек, где нарушается непрерывность?

[Sinoid]

Спасибо за консультацию.