Как составить уравнение, если известно множество решений?

[ИСН]

timber в сообщении #970807 писал(а):

Ну можно выразить одну переменную первого уравнения через другую. А потом запихать эту переменную во второе уравнение. И получим одно уравнение.

Так-то да. Но это если уравнение такого рода, что допускает однозначное выражение одной переменной через другую. А это не всегда так. Есть более общий подход.

[timber]

provincialka
Ну опять возвращаемся туда же. Зачем левые части уравнений возводить в квадраты? Я понимаю, что: $a(x,y)=0 \Leftrightarrow a(x,y)^2=0$ и $b(x,y)=0 \Leftrightarrow b(x,y)^2=0$. Но почему такой переход?

[arseniiv]

По-моему, без конкретных отрезвляющих примеров так ничего и не получится.

timber в сообщении #970820 писал(а):

Но почему такой переход?

Потому что в контексте. Просто так смысла возводить в любую степень, действительно, нет.

[provincialka]

timber
Ну мы же уже обсуждали, что равенство $u^2+v^2=0$ выполняется тогда и только тогда, когда $u=0$ и $v=0$.

[ИСН]

timber в сообщении #970820 писал(а):

Зачем левые части уравнений возводить в квадраты? Я понимаю, что: $a(x,y)=0 \Leftrightarrow a(x,y)^2=0$ и $b(x,y)=0 \Leftrightarrow b(x,y)^2=0$. Но почему такой переход?

Попробуйте не возводить в квадраты. Или попробуйте возводить не в квадраты. Что получится? Получится ли то же самое, что здесь?

[timber]

ИСН в сообщении #970832 писал(а):

timber в сообщении #970820 писал(а):

Зачем левые части уравнений возводить в квадраты? Я понимаю, что: $a(x,y)=0 \Leftrightarrow a(x,y)^2=0$ и $b(x,y)=0 \Leftrightarrow b(x,y)^2=0$. Но почему такой переход?

Попробуйте не возводить в квадраты. Или попробуйте возводить не в квадраты. Что получится? Получится ли то же самое, что здесь?

Конечно, могу и ошибаться, но $f(x,y)=0 \Leftrightarrow f(x,y)^n=0$

[provincialka]

Можно не только в квадраты. Можно в четвертые степени.
А вот если вы напишите, что $a^3(x,y)+ b^3 (x,y)=0$, это уравнение может выполняться не только $a(x,y)=0, b(x,y) =0$, но и, например, при $a(x,y)=1, b(x,y) =-1$, А ведь нам это не подходит.

[ИСН]

timber в сообщении #970833 писал(а):

Конечно, могу и ошибаться, но $f(x,y)=0 \Leftrightarrow f(x,y)^n=0$

Допустим. Но при чём тут это? Ведь мы не хотели от одного уравнения, содержащего только f, перейти к другому, тоже содержащему только f. Мы хотели чего-то другого. Мы хотели от двух уравнений, содержащих разные буквы, перейти к одному уравнению. А как же это возможно, и возможно ли вообще?

[timber]

ИСН в сообщении #970847 писал(а):

А как же это возможно, и возможно ли вообще?

Существование решения $a^2(x,y)+ b^2 (x,y)=0$ показывает, что такое возможно. Но оно как бы возможно, а как бы и нет. Проверка путем подстановок: $a(x,y)=0, b(x,y)=0, a(x,y)=1, b(x,y)=-1$ -- как бы убеждает меня, но как бы и нет. Не хватает чего-то существенного! С ходу не скажу, надо подумать.

[ИСН]

Подумайте. Сформулируйте, что Вам в этом способе не нравится и чего не хватает.

[timber]

Ну вот, например, так.

Не нравится, что взяли частный случай (именно сумму и именно квадратов). Хотя может быть, что это единственный случай. Но если так, то требуется доказательство.

Откуда мы знаем, исключая очевидность подстановок, что уравнение вида $a^2(x, y)+b^2(x, y)=0$ -- это единственная верная запись уравнения, которое нам нужно? Есть какая теорема на этот счет или мы ограничились достаточностью очевидности и взяли самый простой из множества подходящих вариантов?

Почему бы нам в качестве ответов не указать, например, такие варианты: $\sqrt{a(x, y)}+\sqrt{b(x, y)}=0$ или $a^3(x, y)+b^2(x, y)-a^2(x, y)\cdot \sqrt{b(x, y)}=0$?

Неужели нельзя как-то по другому составить уравнение, подобрав его левую часть другим, отличным от $a^2(x, y)+b^2(x, y)$ образом, чтобы так же выполнялось равенство нулю тогда и только тогда, когда $a(x, y)=0$ и $b(x, y)=0$?

[ИСН]

timber в сообщении #971442 писал(а):

Есть какая теорема на этот счет или мы ограничились достаточностью очевидности и взяли самый простой из множества подходящих вариантов?

Второе. Это самый простой, можно составить другие. Ваши оба варианта нехороши тем, что сокращают область определения, а второй из них ещё и неверен (даже внутри таковой области). Но вообще варианты есть.

[timber]

Спасибо! Это немного успокаивает.

Если существуют другие варианты (хорошие в Вашем понимании и отличные от вида $a^{2n}(x, y)+b^{2n}(x, y)=0$) уравнений, подскажите, пожалуйста, каким способом (или способами) их можно найти?

[provincialka]

timber в сообщении #971466 писал(а):

подскажите, пожалуйста, каким способом (или способами) их можно найти?

Взять любую функцию $f(a, b)$, имеющую единственный минимум (или максимум) в точке $(0,0)$ и приравнять ее этому экстремальному значению. Например, $e^{|a|}+e^{|b|}=2$. Только это маразм, конечно.

[timber]

Т.е. берем любую функцию $f(x, y)$, имеющую локальный экстремум в точке (0, 0) и записываем, приравняв к экстремальному значению так, чтобы на местах $x, y$ стояли $a(x, y), b(x, y)$, например, такие варианты: $\left\lvert a^3(x,y) \right\rvert+\left\lvert b(x,y) \right\rvert=0$, $a^2(x,y) + \left\lvert a(x,y)\cdot b(x,y) \right\rvert=0$?