Опять многочлены

[Профессор Снэйп]

Пусть $f(x,y)$ вещественная функция двух переменных и при произвольной фиксации любой переменной получается полином. Обязана ли $f$ быть полиномом от двух переменных?

[Brukvalub]

Уже здесь обсуждалась (см. архив).

[Профессор Снэйп]

Угу, нашёл. Действительно обсуждалась. Причём формулировка та же самая дословно.

http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=5072&hig ... 62f729e917

Правда чуть больше года назад, так что не углядел. Тему, наверное, можно закрыть.

P. S. Задачу стащил отсюда.

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Пусть $f(x,y)$ вещественная функция двух переменных и при произвольной фиксации любой переменной получается полином. Обязана ли $f$ быть полиномом от двух переменных?

Предлагаю такой вариант.

Для фиксированного $y$ запишем полином от $x$:
$f(x,y)=a_0(y)+ a_1(y)\frac{(x-1)}{1!} + a_2(y)\frac{(x-1)(x-2)}{2!} + ... + a_n(y)\frac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!}$
Степень $n$, вообще говоря, зависит от $y$.

Полином $a_k(y)$ - линейная комбинация полиномов $f(1,y), f(2,y), … , f(k+1,y)$, а именно:
$a_k(y) = D^k f(1,y)$, где $D$ - разностный оператор по $x$: $Df(x,y) = f(x+1,y) - f(x,y)$.
Например, $a_2(y) = D^2 f(1,y) = f(3,y) - 2f(2,y) + f(1,y)$.

Пусть $y'$ - действительное число, не принадлежащее множеству всех корней всех полиномов $a_k(y), k=0,1,2, …$
То, что $f(x,y')$ является полиномом степени $m$, означает, что все $a_k(y)$ тождественно равны нулю при $k>m$.