Догонялки: задачка на кинематику

[abiturient]

В чем проблема, как найти траекторию, я уже всё подробно пояснил. Как найти время в задаче? Ну, это скучно...

[DimaM]

Alex_J в сообщении #970316 писал(а):

Ну и
$T=\frac{vl}{v^2-u^2}$

Хороший, годный ответ.

-- 29.01.2015, 11:16 --

abiturient в сообщении #970333 писал(а):

как найти траекторию, я уже всё подробно пояснил

С ошибками только.

[aa_dav]

(Оффтоп)

В институте один из преподов на каком то факультативе задал нам эту задачу в формулировке "лиса догоняет зайца бегущего вдоль стены" на дом.
Не решили.
На следующем факультативе он пожал плечами - мол, уровень подготовки у нас фиговый - и, мол, давайте покажу как оно решается. Через 20 минут стер всё с доски и сказал "дома посмотрю точно как решается". Больше к этой задаче правда так и не вернулись.

[DimaM]

(Оффтоп)

aa_dav в сообщении #970362 писал(а):

В институте один из преподов

Не в Камчатском университете часом?

[Sender]

aa_dav в сообщении #970362 писал(а):

лиса догоняет зайца бегущего вдоль стены

Настоящая лиса бежала бы наперерез, делая задачу тривиальной.

[abiturient]

abiturient в сообщении #970333 писал(а):

как найти траекторию, я уже всё подробно пояснил

С ошибками только.[/quote]
Так вроде это же глупая описка была, $u$ c $v$ перепутал при переписывании формулы с бумажки. Причем сразу же и поправил себя. А так то всё верно? Чего-то я уже и сам сомневаться начинаю...

[Sender]

Может, вынесете исправленную версию в отдельное сообщение?

[abiturient]

Итак, выберем СК так, чтоб её центр совпадал с точкой В в момент, описываемый н.у. Вектор скорости u направим в положительном направлении оси x. Ось у расположим так, чтоб положение точки А в начальный момент времени совпадало с координатой $(0,h)$. Угол $\alpha$ -- Угол между касательной к траектории и осью х.
Тогда в произвольный момент времени

$$\frac{dy}{dx}=-\tg\alpha=-\frac{y}{ut-x}$$

$$y\frac{dx}{dy}=x-ut$$

Дифференцируем ещё раз.

$$udt=-yd(\frac{dx}{dy})$$

С другой стороны

$$vdt=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=-dy\sqrt{1+(dx/dy)^2}$$

Отсюда

$$\frac{u}{v}=\frac{yd(dx/dy)}{dy\sqrt{1+(dx/dy)^2}}$$

Дальше замена

$$z\equiv \frac{dx}{dy}$$

И интегрирование с учетом н.у.

[Sender]

abiturient в сообщении #970390 писал(а):

Дифференцируем ещё раз.

$$udt=-yd(\frac{dx}{dy})$$

Вы уверены, что ничего не пропустили в этом месте?

[abiturient]

$$dy\frac{dx}{dy}+yd\frac{dx}{dy}=dx+yd\frac{dx}{dy}=dx-udt$$

$$udt=-yd(\frac{dx}{dy})$$

Уверен.

[Sender]

Пардон, почему-то упорно читал $yd(\frac{dx}{dy})$ как $d(y\frac{dx}{dy})$. Похоже, у вас всё верно.

[svv]

У Alex_J была попытка применить векторные обозначения. Хочу реализовать эту идею. Пусть
$\mathbf r(t)$ — радиус-вектор положения лисы, $\mathbf v(t)=\mathbf r'(t)$ — скорость лисы, $|\mathbf v|=v=\operatorname{const}$,
$\mathbf a(t)=\mathbf u t$ — положение зайца, $\mathbf u=\operatorname{const}$ — скорость зайца,
$\mathbf l=\mathbf a-\mathbf r$, вектор от лисы к зайцу.
Штрих — производная по времени.

По условию $\mathbf l$ и $\mathbf v$ сонаправленны.
Так как $v=\operatorname{const}$, то $\mathbf v\cdot\mathbf v'=0$, тогда и $\mathbf l\cdot\mathbf v'=0$. Отсюда
$(\mathbf l\cdot \mathbf v)'=\mathbf l'\cdot\mathbf v=\mathbf a'\cdot\mathbf v-\mathbf r'\cdot\mathbf v=\mathbf u\cdot\mathbf v-v^2=(\mathbf u\cdot \mathbf r-v^2 t)'$
Следовательно, $\mathbf l\cdot \mathbf v=\mathbf u\cdot \mathbf r-v^2 t+C$.

[Alex_J]

svv

Тогда учесть, что $\mathbf{u}\cdot\mathbf{r}=ux$, где $x$ - абцисса лисы, а $\mathbf{l}\cdot\mathbf{v}=lv$, и получается
$lv=ux-v^2 t+C$

$l(t)v=\frac{ut-x}{\cos\varphi}v=\frac{ut-x}{\dot{x}}v^2$,
т.к. $\dot{x}=v\cos\varphi$.

$\dot{x}=\frac{ut-x}{ux-v^2 t+C}v^2$

[svv]

Когда получили уравнение $\mathbf l\cdot \mathbf v=\mathbf u\cdot \mathbf r-v^2 t+C$, можно сразу найти константу интегрирования $C$, подставив все величины в момент $t=0$.
В этот момент $\mathbf u\cdot\mathbf r=0$ (радиус-вектор лисы перпендикулярен скорости зайца), так что $C=\mathbf l(0)\cdot \mathbf v(0)=y_0 v$, и уравнение принимает вид
$\mathbf l\cdot \mathbf v=\mathbf u\cdot \mathbf r-v^2 t+y_0 v$

И последний шаг — взять все величины в момент $t=T$, когда лиса догнала зайца ($\mathbf l=0, \mathbf r=\mathbf a=\mathbf u T$), после чего получится тот же ответ $T=\frac{y_0v}{v^2-u^2}$, что был дан ранее.

[abiturient]

У меня в Иродове, Издательство "Лань" 2007, задача решена в ответах, почти. В смысле, найти время.