Записал подробно перебор, о котором писал выше.
Доказательство можно провести в 4 этапа. Первые 3 делаются простым перебором.
I) Обозначим вершины правильного семиугольника буквами А, Б, В, Г, Д, Е, Ё.
Пусть из них выбрано не менее трёх, таким образом, чтобы среди них не было лежащих в вершинах равнобедренного треугольника.
Предположим, что среди выбранных вершин нет пары соседних. Тогда обязательно есть пара вершин, лежащих через одну. Для определённости будем считать, что это вершины А и В. Тогда вершины Б, Д и Е не могут быть выбраны, т.к. образуется равнобедренный треугольник; а вершины Г и Ё — потому что нет пары соседних вершин. Противоречие.
Следовательно, среди выбранных вершин обязательно есть пара соседних. Для определённости будем считать, что это вершины А и Б. Тогда вершины В, Д и Ё не могут быть выбраны, т.к. образуется равнобедренный треугольник. Также, не могут быть ОДНОВРЕМЕННО выбраны вершины Г и Е. Следовательно выбрана только одна из вершин Г или Е. Заметим, что конфигурации АБГ и АБЕ переходят друг в друга при симметрии.
Таким образом, в правильном семиугольнике можно отметить не более трёх вершин, причём все допустимые тройки вершин конгруэнтны (переходят друг в друга при повороте или симметрии).
II) Обозначим вершины правильного четырнадцатиугольника буквами от А до М.
Эти вершины можно разбить на наборы вершин двух правильных семиугольников: «нечётного» (А, В, Д, Ё, З, Й, Л) и «чётного» (Б, Г, Е, Ж, И, К, М). Если в четырнадцатиугольнике отмечено 6 точек, то в каждом из указанных семиугольников отмечено по 3 точки.
Не уменьшая общности можно считать, что в «нечётном» семиугольнике отмечены точки А, В и Ё. Тогда в «чётном» не могут быть отмечены вершины Б, Г и К, т.е. отмечены 3 из вершин Е, Ж, И, М. Тройки ЕЖИ, ЕЖМ и ЕИМ являются вершинами равнобедренных треугольников. Следовательно, выбраны точки Ж, И, М.
Таким образом, если в правильном четырнадцатиугольнике отметили 6 допустимых вершин, то эта конфигурация конгруэнтна набору А, В, Ё, Ж, И, М.
III) Обозначим вершины правильного двадцативосьмиугольника буквами от А до Ъ.
Эти вершины можно разбить на наборы вершин двух правильных четырнадцатиугольников: «нечётного» (А, В, Д, Ё, … , Щ) и «чётного» (Б, Г, Е, Ж, … , Ъ).
Предположим, что из вершин двадцативосьмиугольника удалось выбрать допустимый набор из более чем десяти точек. Тогда в одном из четырнадцатиугольников (для определённости будем считать, что в «нечётном») выбрано 6 вершин.
При этом не уменьшая общности можно считать, что выбраны вершины А, Д, Л, Н, С, Щ.
Тогда в «чётном» четырнадцатиугольнике не могут быть выбраны вершины, лежащие на серединных перпендикулярах к парам вершин из «нечётного» четырнадцатиугольника, т.е. вершины Б, Е, Ж, И, К, М, О, Т, Ф, Ц, Ш и Ъ. Т.е. в «чётном» четырнадцатиугольнике, в этом случае, могут быть отмечены только вершины Г и Р.