Приложение момента колёсам для движения машины

[Starter]

Всех приветствую, уважаемые! Столкнулся с такой задачей, которую самостоятельно не могу осилить. Очень долго гуглил прежде чем создать тему. Кое-что нашёл, но не всё.

(Оффтоп)

Можно не читать. К задаче особого отношения не имеет.
---
Задачу ниоткуда не брал, такую не найдёте в учебниках и задачниках (разве что только случайное совпадение). Задачу поставил сам перед собой, сам же её и сформулировал.
Зачем? Очень уж долго рассказывать, но вкратце: делаю игру симулятор, в которой и есть вот такие машины. Зачем учитывать физику в игре и тд? Вот это уж точно долго рассказывать, поэтому примите как есть. Но знайте, это действительно нужно. Хотя бы в упрощённой форме. И нет, меня не устроят разные готовые движки с физикой и тд. Если очень уж интересно зачем это всё, милости прошу в ЛС. Хотя по просьбе могу позже и в теме отписать. Просьба писать только по задаче, а не об игре и реализации. И нет, это не очередные WoT.

Итак!

Машина имеет гусеничный движитель. Масса всей снаряжённой машины $m_a$. Радиус ведущего колеса $r_v$.
Учитывать силу трения траков о грунт (грунт-сталь). Силу трения в механизмах не учитывать. Какой момент необходимо приложить ведущему колесу, чтобы сдвинуть машину с места с ускорением $a$ под уклоном $\beta$ ?. Одно ведущее колесо слева и одно справа, всего два ведущих колеса. Сопротивление воздуха не учитывать.

---
Пишу своё решение с чего начал.
Руководствовался формулами отсюда.

$M=M_c+M_d$
$M_c$ - момент статический; $M_d$ - момент динамический.
$M_c=F_{s}r_{v}$
$F_{s}$ - суммарная сила.

$F_{s}=F_t+mg_x=F_t+mg\cos(\beta)$
Вот тут первый ступор, какую силу трения брать: покоя или качения? Я предполагаю что качения, но нашёл что нужно брать покоя траков.
Если честно в голове не укладывается как использовать трение покоя в этом случае. А если качения то думаю так:
$F_t=2L(\frac{f}{R}mg_y)=2L(\frac{f}{R}mg\sin(\beta))$
где $f$ - коэффициент силы трения качения сталь-грунт (кстати, тоже найти не могу).
$F_{s}=2L(\frac{f}{R}mg\sin(\beta))+mg\cos(\beta)$
$M_c=(2L(\frac{f}{R}mg\sin(\beta))+mg\cos(\beta))r_v$
Что-то мне подсказывает что это не правильно.
Теперь момент динамический.
$M_d=J\alpha$
И вот он самый главный ступор! Не знаю как рассчитать момент инерции всей машины (хотя бы приближённо). Точнее не знаю какую ось взять: проходящая через центр масс или через центр ведущих колёс?
Если взять упрощённо вращающийся прямоугольник, то возможно будет так (вид на машину сверху):

$J=\frac{m_aWL_m^2}{3}$
Руководствовался вики.
$W$ - ширина машины, $L_m$ - длина машины.
Теперь ускорение.
$a={\alpha}r_v$
$\alpha=\frac{a}{r_v}$
---
Ну вот и всё, мои догадки на этом кончились, поэтому прошу помощи в решение задачи.
Заранее благодарю!

[Oleg Zubelevich]

формулы Ваши не читал, но задача как таковая решается по теореме об изменении кинетического момента в осях Кенига. Что бы вычислить кинетический момент системы надо суммировать кинетические моменты всех твердых тел взодящих в систему, формулы известны.. С гусиницами придется слегка повозиться, если их массу нельзя считать пренебрежимой по сравнению с массой остального.

[Starter]

Oleg Zubelevich, можно хотя бы пример задачи? А то гугл снова ерунду выдаёт.

[Oleg Zubelevich]

Задачник Мещерского посмотрите или задачник Батя Джанелидзе Кельзона

-- Ср янв 28, 2015 14:03:31 --

на самом деле, если нет проскальзывания гусениц по грунту, движение системы описывается уравнением $A\ddot\phi=B\dot\phi+Cmg+M$ где $\phi$ -- угол поворота ведущего вала, $B\dot\phi$ -- вязкая сила в агрегатах машины, $Cmg$ -- член отвечающий за силу тяжести, $M$ -- момент сил, который создается движком. Констатны $A,B$ оределяются экспериментально.