Квадратное матричное уравнение

[Ward]

Здравствуйте!
Существует ли матрица $X$ размера 3 на 3 такая, что $X^2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$.

Как следует решать данную задачу? Понятно, что составлять систему из 9 уравнений это бред.
Но как тогда надо решить ее? Была мысль такая: пусть $G$ - матрица в правой части. Понятно, что оператор $G$ является нильпотентным степени 2. А вот что дальше делать абсолютно непонятно? Помогите с подсказками пожалуйста.

[ИСН]

О собственных значениях слышали когда-нибудь, например?

[Ward]

ИСН
Да слышал. У нильпотентного оператора они равны нулю. Но как они могут помочь?

П.с. мне кажется, что тут можно через жорданову форму.

[ИСН]

Раз уж Вы пользуетесь словом "нильпотентный": какие они у такой матрицы?

[TOTAL]

Ward в сообщении #969815 писал(а):

Понятно, что составлять систему из 9 уравнений это бред.

С помощью этого бреда задача решается очень быстро, начните с $$X^2X=XX^2$$

[ИСН]

В общем, я переусложнил. К чёрту соб.значения. Простейшую нильпотентную матрицу знаете же, наверное? На что похожи её степени?

-- менее минуты назад --

Или в таких терминах. Матрицы из нулей и чуть-чуть единиц, в сущности, просто переставляют местами координаты. Какие, куда?

[Ward]

TOTAL
Да дельный совет: получил что в матрице $X$ элементы $x_{21}=x_{31}=x_{23}=0$ и $x_{11}=x_{22}$ Воспользовавшись подсказкой TOTAL я получил, что такая матрица действительно существует и имеет вид: $X=\begin{pmatrix} 0 & b & c \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & c^{-1} & 0\end{pmatrix}$-- 28.01.2015, 12:54 --

ИСН в сообщении #969852 писал(а):

В общем, я переусложнил. К чёрту соб.значения. Простейшую нильпотентную матрицу знаете же, наверное? На что похожи её степени?

-- менее минуты назад --

Или в таких терминах. Матрицы из нулей и чуть-чуть единиц, в сущности, просто переставляют местами координаты. Какие, куда?

Вы имеет ввиду циклический оператор?
$\varphi(e_1)=0,\varphi(e_2)=e_1,\dots, \varphi(e_n)=e_{n-1}$

[ИСН]

Ward в сообщении #969901 писал(а):

Вы имеет ввиду циклический оператор?
$\varphi(e_1)=0,\varphi(e_2)=e_1,\dots, \varphi(e_n)=e_{n-1}$

Да, этот, только он не циклический, по-моему. Ну да плевать, называйте как угодно.

[Ward]

ИСН
У матрицы этого оператора такой вид: везде нули, кроме элементов $a_{i,i+1}=1$. А при каждой следующей степени эта лента из единица передвигается вверх.
Но честно говоря, пока смысл не осознал.

[ИСН]

Верно. Но это если он переставляет координаты именно в таком порядке. А можно ведь и в другом. Немного поразмыслив, мы пришли бы к матрице $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$.
(Теперь-то незачем, у Вас уже есть общее решение.)

[Ward]

Вы взяли такое преобразоаание координат потому что эта матрица уже во второй степени даёт нам нужную да?

[ИСН]

Что значит "уже во второй"? Будто были ещё варианты? Нильпотентная матрица 3 на 3 в третьей степени уж точно даёт нулевую.

[Ward]

Ну да наша матрица в третьей степени уже нулевую даёт. А вторая степень ведь есть то что нам нужно.