Как доказать неравенство

[NiLi]

Доказать неравенство:
$$2^{\frac{1}{k}}-1>\frac{1}{2k}$, $k\in\mathbb{N}$$
Доказываю с помощью метода мат индукции:
1) При $k=1$: $1>\frac{1}{2}$
2) Пусть верно для $k=n$: $2^{\frac{1}{n}}-1>\frac{1}{2n}$ (1).
3) Докажем, что верно для $k=n+1$
$2^{\frac{1}{n+1}}-1>\frac{1}{2n+2}$, используя (1).
Прибавим к обоим частям неравенства $-\frac{1}{2n(n+1)}$:
$2^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{2n(n+1)}>\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n(n+1)}$
Получаем:
$2^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{2n(n+1)}>\frac{1}{2n+2}$
Теперь нам нужно доказать, что
$ 2^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{2n(n+1)}<2^{\frac{1}{n+1}}-1$
$ 2^{\frac{1}{n}}-\frac{1}{2n(n+1)}<2^{\frac{1}{n+1}}$ (2),
но например при $n=2$ (2) неверно.

[provincialka]

NiLi в сообщении #968150 писал(а):

Теперь нам нужно доказать, что
$ 2^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{2n(n+1)}<2^{\frac{1}{n+1}}-1$

Не нужно. Если бы доказали -- было бы хорошо. А нет -- значит надо действовать по-другому.

[Shadow]

Можно усилить неравенство - в левой части $3^{\frac {1}{2k}}$

-- 25.01.2015, 19:35 --

И еще можно, конечно ...

[ewert]

Вообще-то задачка довольно странная. Конечно, если знать, что $\ln2>\frac12$ и что есть экспонента со всякими своими свойствами, то всё тривиально. Однако если этого не знать, то получается извращение какое-то, ей богу.

[mihailm]

Задача на бином Ньютона.
Надо доказать что $(1+\frac{1}{n})^n<4$

[NiLi]

Перенесли единицу в право, возвели в степень $2k$
$(1+\frac{1}{2k})^{2k}<3$
$3<(2^{1/k})^{2k}=4$
$(1+\frac{1}{2k})^{2k}<(2^{1/k})^{2k}$.
А как доказать: $(1+\frac{1}{n})^{n}<3$?
Если по Биному,то
$1+n\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+...+\frac{1}{n^n}$

$2,5+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+...$

Как-нибудь можно подсчитать вот это, написать одной формулой?
$\sum\limits_{n}^{k=1}\frac{1}{n!}$

[TOTAL]

NiLi в сообщении #968150 писал(а):

Доказать неравенство:
$$2^{\frac{1}{k}}-1>\frac{1}{2k}$, $k\in\mathbb{N}$$
Доказываю с помощью метода мат индукции:
1) При $k=1$: $1>\frac{1}{2}$
2) Пусть верно для $k=n$: $2^{\frac{1}{n}}-1>\frac{1}{2n}$ (1).

3) Предположим, что неверно для $k=n+1,$ т.е. что $\left( 1+ \frac{1}{2n+2} \right)^{n+1} - 1 \ge 1$
Тогда $\frac{1}{2n+2} \left[ \cdots \right] \ge 1$, поэтому $\frac{1}{2} $\left( 1+ \frac{1}{2n+2} \right)^{n} \ge 1$ - противоречие с пунктом 2)

[mihailm]

NiLi в сообщении #968481 писал(а):

...Как-нибудь можно подсчитать вот это, написать одной формулой?
$\sum\limits_{n}^{k=1}\frac{1}{n!}$

замените факториал на степень двойки

[NiLi]

$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ как-то сложно доказывается, такого еще не проходили

[Cash]

надо не $n^2$, а $2^n$

[NiLi]

тогда понятно

-- 27.01.2015, 10:04 --

TOTAL в сообщении #968496 писал(а):

NiLi в сообщении #968150 писал(а):

Доказать неравенство:
$$2^{\frac{1}{k}}-1>\frac{1}{2k}$, $k\in\mathbb{N}$$
Доказываю с помощью метода мат индукции:
1) При $k=1$: $1>\frac{1}{2}$
2) Пусть верно для $k=n$: $2^{\frac{1}{n}}-1>\frac{1}{2n}$ (1).

3) Предположим, что неверно для $k=n+1,$ т.е. что $\left( 1+ \frac{1}{2n+2} \right)^{n+1} - 1 \ge 1$
Тогда $\frac{1}{2n+2} \left[ \cdots \right] \ge 1$, поэтому $\frac{1}{2} $\left( 1+ \frac{1}{2n+2} \right)^{n} \ge 1$ - противоречие с пунктом 2)

Что-то не пойму:
$1$\leqslant$$(\frac{1}{2n+2}+1)^n(\frac{1}{2n+2}+1)-1$$
$(\frac{1}{2n+2}+1)^n(\frac{1}{2n+2}+1)-1=(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2n+2}+(\frac{1}{2n+2}+1)^n-1$
$(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2n+2}+(\frac{1}{2n+2}+1)^n-1$\geqslant(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2n+2}$$

$(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2n+2}$\leqslant(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2}$$

[TOTAL]

NiLi в сообщении #969067 писал(а):

Что-то не пойму:
$1$\leqslant$$(\frac{1}{2n+2}+1)^n(\frac{1}{2n+2}+1)-1$$
$(\frac{1}{2n+2}+1)^n(\frac{1}{2n+2}+1)-1=(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2n+2}+(\frac{1}{2n+2}+1)^n-1$
$(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2n+2}+(\frac{1}{2n+2}+1)^n-1$\geqslant(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2n+2}$$

$(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2n+2}$\leqslant(\frac{1}{2n+2}+1)^n\frac{1}{2}$$

$q^{n+1}-1=(q-1)(q^n+ \cdots +1)<(q-1)(n+1)q^n$

[NiLi]

TOTAL в сообщении #969091 писал(а):

$q^{n+1}-1=(q-1)(q^n+ \cdots +1)<(q-1)(n+1)q^n$

а это неравенство для любого $q$ или только $q>1 $

-- 27.01.2015, 11:20 --

в моем случае q>1, а так в общем?

[TOTAL]

NiLi в сообщении #969106 писал(а):

TOTAL в сообщении #969091 писал(а):

$q^{n+1}-1=(q-1)(q^n+ \cdots +1)<(q-1)(n+1)q^n$

а это неравенство для любого $q$ или только $q>1 $

-- 27.01.2015, 11:20 --

в моем случае q>1, а так в общем?

Сами подумайте.

[NiLi]

ewert в сообщении #968252 писал(а):

Вообще-то задачка довольно странная. Конечно, если знать, что $\ln2>\frac12$ и что есть экспонента со всякими своими свойствами, то всё тривиально. Однако если этого не знать, то получается извращение какое-то, ей богу.

В этом случае что делать?
У меня вот что:
$2^\frac{1}{n}>1+\frac{1}{2n}$
$1+\frac{1}{2n}<1+\frac{1}{n}\ln2$