Инварианты диффеоморфизмов

[Vov]

Помогите придумать инварианты для диффеоморфизмов дифф. форм в $\mathbb{R}^{n}$.
Необходимо показать, что две формы не диффеоморфны в $\mathbb{R}^{n}$, а ничего кроме замкнутости и конечности/бесконечности интеграла по области придумать не получается.

[Vince Diesel]

Конкретные формы?

[Vov]

Пример $ (x^4-x^2+y^2) dx\wedge dy$ и $ (x^2+y^2) dx\wedge dy$, но дело не в конкретных примерах, а в том, что хотелось бы знать некий набор инвариантов, вроде полиномов для узлов или гомологий для многообразий, и понять хотя бы в общих чертах какие проблемы бывают для диффеоморфизмов форм и векторных полей.

[Brukvalub]

Первая форма вырождается в 0 на линии, а вторая - в одной точке.

[Vince Diesel]

В данном случае множества нулей разные. В правой части точка, а в левой - кривая (восьмерка). Еще инвариант - разложимость формы. В частности, если $w$ разложима (имеет вид $q_1\wedge q_2\wedge \ldots\wedge q_m$, где $q_i$ - 1-формы), то $w\wedge w=0$. В $\mathbb R^3$ все замкнутые 2-формы разложимы (локально, по крайней мере). А в $\mathbb R^4$ уже нет. Например $w=dx_1\wedge x_2+dx_3\wedge x_4$ неразложима, т.к. $w\wedge w\ne0$. Более обще, для замкнутых 2-форм есть теорема Фробениуса: $w_2=dx_1 \wedge x_2+\ldots +dx_{2m-1} \wedge dx_{2m}$ в некоторой окрестности данной точки в подходящей системе системе коодинат $x_1,\ldots,x_n$, если $m$-кратная внешная степень не равна нулю, а $m+1$-я равна нулю. Эти два наблюдения подсказывают, что инвариантами могут служить топологические инварианты множеств, на которых степени формы равны нулю.

[Vov]

Благодарю за подробный ответ, только одно уточнение верно ли я понимаю, что множество нулей должно перейти в диффеоморфное множество и это связано с тем, что свертка вектора с ковектором инвариант, следовательно если форма зануляла все вектора в данной точке, то и при в образе диффеоморфизма она должна занулять все вектора.

[Vince Diesel]

Да, по определению образа формы при диффеоморфизме.