Равноправность переменных в уравнении

[Oleg Zubelevich]

ничего подобного, это разные функции

-- Сб янв 24, 2015 23:31:22 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967787 писал(а):

Меня удивляет, что переменные в дифуре можно считать равноправными. То есть нас одинаково устроит результат, в котором $y$ зависит от $x$ или $x$ зависит от $y$.
Если рассмотреть функцию $y=x^2$, то функция $x=y^{\frac{1}{2}}$ будет совсем непохожа на нее. Первая функция - это парабола, а вторая - половина параболы на боку (если можно назвать параболой эту функцию). Очевидное сужение области определения и области значений этой функции по сравнению с исходной. Тогда почему решения дифур

При работе с дифференциальными уравнениями часто рассматривают не само решение $y(x)$ а соответствующую кривую в фазовом пространстве или в расширеном фазовом пространстве. Это удобно тем, что кривая является инвариантным геометрическим объектом. По тем же причинам дифференциальному уравнению ставят в соответствие инвариантный объект -- векторное поле.

[ewert]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967787 писал(а):

То есть нас одинаково устроит результат, в котором $y$ зависит от $x$ или $x$ зависит от $y$.

Это не совсем так. Если ДУ записывается в стандартной форме как $y'(x)=f(x,y(x))$, то для этого обычно есть веские основания: потому, что нас интересует зависимость именно игрека от икса, а не наоборот.

Но далее возникает естественное желание узнать чего-нибудь о свойствах этой зависимости. Например, где она, собственно, существует, т.е. до каких пределов значения аргумента продолжается решение этого дифура. И вот тут-то оказывается выгодным посмотреть на ситуацию с симметричной точки зрения, при которой иксы и игреки равноправны.

[Алексей К.]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967787 писал(а):

Если рассмотреть функцию $y=x^2$, то функция $x=y^{\frac{1}{2}}$ будет совсем непохожа на нее.

Неправда: графики этих функций страшно похожи, а вовсе не "совсем непохожи". Что вполне можно считать некой похожестью самих функций. Поворотик и ножницы не делают "совсем непохожести".

Nurzery[Rhymes] в сообщении #967787 писал(а):

Первая функция - это парабола, а вторая - половина параболы на боку (если можно назвать параболой эту функцию)

Я это сразу воспринял как "если можно назвать сахаром эту соль".
Но всё же порыл эти слова в справочниках, и нигде не увидел, что "функция является параболой". Парабола, как выяснилось --- кривая второго порядка, весьма вырожденная, но никакая не "функция".

Соответственно, предлагаю поуточнять словоупотребление.