количество представлении

[rightways]

Натуральное число $n$ имеет $r\ge 1$ различных простых делителей. Докажите, что $n$ представимо в виде суммы двух кубов целых чисел не более $2^r$ способами.

[gris]

Пардон, просто частный случай.
А именно, когда само число есть куб, но по ВТФ это исключает другие представления в виде суммы или разности натуральных кубов. Вот и применение!

Кстати, способы считаются с точностью до перестановки?

[mihiv]

Пусть $n=\prod \limits _{i=1}^rp_i^{\alpha _i}$ и $n=a^3+b^3,a$ и $b$ взаимно простые. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^2-3ab]$.Так как $a$ и $b$ взаимно простые, то НОД $a+b$ и выражения в квадратных скобках равен 1 или 3. Если НОД=1, то число $p_i^{\alpha _i}$ может содержаться либо в $a+b$, либо в квадратной скобке. Поэтому верхняя оценка количества представлений числа $n$ суммой взаимно простых кубов равна $2^r$, так как множитель $a+b$ может быть равен: или 1, или $p_i^{\alpha _i},i=1,\dots r$, или $p_i^{\alpha _i}p_j^{\alpha _j},1\leq i<j\leq r$ и т.д.
Случай НОД=3 рассматривается аналогично. Если $(a,b)\ne 1$, то таким способом оценка получается хуже.

[Sonic86]

(Оффтоп)

gris в сообщении #967967 писал(а):

А именно, когда само число есть куб, но по ВТФ это исключает другие представления в виде суммы или разности натуральных кубов. Вот и применение!

только если $z$ в $z^3=x^3+y^3$ - степень простого числа

mihiv в сообщении #968731 писал(а):

Пусть ... $n=a^3+b^3,a$ и $b$ взаимно простые.

в общем случае тоже необязательно

Вообще, надеюсь, что это верно

[rightways]

gris в сообщении #967967 писал(а):

Пардон, просто частный случай.
А именно, когда само число есть куб, но по ВТФ это исключает другие представления в виде суммы или разности натуральных кубов. Вот и применение!

Кстати, способы считаются с точностью до перестановки?

$n=x^3+y^3$ и $n=y^3+x^3$ $-$два одинаковых способа.

На самом деле задача выглядит так:
Надо доказать, что уравнение $x^3+y^3=n$
с заданным параметром $n\in N$ имеет не более $2^{r+1}$ решении в целых числах.