Составить функцию на основе двух других функций.

[melnikoff]

Пусть есть две функции $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$: $f$ и $g$.
Как можно из них составить новую функцию $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ такую, что на $(-\infty;a]\;\;h(x)=f(x)$, а на $(a;+\infty)\;\;h(x)=g(x)$? $a\in\mathbb{R}$.
Нужно составить функцию, которая записывается в виде одной формулы, без перебора случаев.

[grizzly]

А не могли бы Вы объяснить, откуда возникает такая задача (в смысле, что "без перебора случаев")? Просто подобные вопросы уже были, а я никак не могу понять, зачем это может быть полезно.

[gris]

Это типа составить формулу функции-индикатора луча? Что-то дробно-линейное с модулями.

[melnikoff]

grizzly, мне нужно для того, чтобы построить такую функцию в программке.
Вот, например, мне нужно построить функцию $h(x)=\begin{cases}x, \;x\leqslant 1\\ x^2, \;1<x\leqslant 5\\ \frac{x}{2}, \; 5<x \end{cases}$.
Сейчас я поступаю так. Строю график функции $h(x)$ из трех функций:
$h_1(x)=x\cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}}$,
$h_2(x)=x^2\cdot \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}\frac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{5-x}}$,
$h_3(x)=\frac{x}{2}\cdot \frac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x-5}}$.
Это довольно громоздко, да и точки $x=1$ и $x=5$ оказываются выколотыми.

[arseniiv]

А что, в той программке нет условного выражения? Может, стоит подумать об использовании другой?

melnikoff в сообщении #967683 писал(а):

Сейчас я поступаю так. Строю график функции $h(x)$ из трех функций:
$h_1(x)=x\cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}}$,
$h_2(x)=x^2\cdot \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}\frac{\sqrt{5-x}}{\sqrt{5-x}}$,
$h_3(x)=\frac{x}{2}\cdot \frac{\sqrt{x-5}}{\sqrt{x-5}}$.

А чего же вы их не сложите в одну, кстати?

[melnikoff]

arseniiv, если мы просуммируем эти функции, то мы получим функцию с пустой областью определения.

[arseniiv]

А, мои извинения, я перепутал её с индикаторной функцией, которая определена и равна нулю там, где эти радикальные дроби не определены.

-- Сб янв 24, 2015 20:55:06 --

Если с той программы нельзя или неудобно уходить, и там есть функция знака $\operatorname{sgn}x = (x = 0)\mathbin? 0 : (x > 0) \mathbin? 1 : -1,$ то $2\operatorname{sgn}x - 1$ — это почти что надо — мешает только «неправильное» значение в нуле.

[melnikoff]

arseniiv в сообщении #967730 писал(а):

А, мои извинения, я перепутал её с индикаторной функцией, которая определена и равна нулю там, где эти радикальные дроби не определены.

А может привести пример такой функции? Стало интересно.

[arseniiv]

Эм… Зачем пример? Индикаторная функция множества $A$ — это такая функция $1_A$, что $1_A(x) = (x\in A)\mathbin? 1 : 0$, ничего особенного.

-- Сб янв 24, 2015 21:08:18 --

А в вашей программе точно нет скобок Айверсона или чего-то подобного? Если не секрет, скажите её название — могу попробовать поискать в её справке.

[melnikoff]

arseniiv, да это простой онлайн-сервис desmos.com/calculator

[arseniiv]

Эх вы, упустили встроенную функцию. Открыл руководство и нашёл там описание кусочно-заданных функций. Например, введите $y=\left\{x<-1:-x,x>1:x,8\right\}$ (кстати, можно просто скопировать эту формулу как текст из браузера — он в какой-то степени понимает $\TeX$).

-- Сб янв 24, 2015 21:50:07 --

Ещё вы там можете получить частично определённую функцию типа $h_1,h_2,h_3$ выше — для этого в конце приписывается $\left\{x>8\right\}$, например.

[melnikoff]

arseniiv, всё, разобрался!Огромное спасибо!