Внешняя степень матрицы

[OlgaD]

Кто-нибудь знает как вычислить внешнюю степень квадратной матрицы?
Что такое тензорное произведение матриц я знаю, а точного определения внешнего произведения (или хотя бы примера вычисления) найти не могу.
Вот, например, пусть есть квадратная матрица

$$A=\left(\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 4 & 1 \\ \end{array}\right).$$

Чему равно $\bigwedge^3 A?$

[Утундрий]

А как выглядит неточное определение? Откуда-то ведь этот набор слов взялся.

[OlgaD]

Неточного нет совсем, за исключением невразумительного предложения из какой-то английской статьи. Вообще определение внешнего произведений матриц мне не попадалось, хотя такое понятие существует. Поэтому, собственно и спрашиваю

[grizzly]

Здесь есть нужные формулировки.

OlgaD в сообщении #967590 писал(а):

Вообще определение внешнего произведений матриц мне не попадалось

Интересно, где оно Вам не попадалось. Не в гугле же? Вот первая ссылка в гугле.

[OlgaD]

я искала по рабоче-крестьянски... а именно, "внешняя степень матрицы"

[grizzly]

OlgaD в сообщении #967640 писал(а):

я искала по рабоче-крестьянски... а именно, "внешняя степень матрицы"

Я там неаккуратно скопировал ссылки. Получилось одно и то же.
Лучше искать "внешнее произведение" и "внешняя степень". Там будут страницы с Вики про векторное произведение и внешние алгебры -- посмотрите ещё в них (или в их английских аналогах). Судя по мне, можно попытаться разобраться даже с нуля :)

[OlgaD]

значит надо попробовать и мне разобраться. спасибо за ссылки

[Munin]

grizzly
То есть просто обычным оператором действуем на каждый множитель внешнего произведения векторов?

[grizzly]

Munin в сообщении #967831 писал(а):

То есть просто обычным оператором действуем на каждый множитель внешнего произведения векторов?

После чего полученные векторы опять внешним образом перемножаем. Ну да, я примерно так понял. Просьба поправить, если это неверно.

(Оффтоп)

Я не уверен в своём понимании и не исключаю подводных камней -- всё же я никогда раньше не был алгебраистом, теперь тем более. Свою роль в помощи ТС я видел в другом -- помочь выйти из поискового тупика, пока тема не ушла в карантин. И да -- я выждал пару часов в ожидании профессиональных ответов.

-- 25.01.2015, 00:25 --

В тех примерах, которые мне попадались на глаза, внешняя степень (внешнее произведение) определялись как сужение тензорной степени (тензорного произведения), с которыми ТС знакома, судя по её утверждению.

[OlgaD]

Нашла нечто похожее на английских сайтах - "exterior power of a matrix". Насколько поняла, каждый элемент новой матрицы вычисляется как некоторый минор соответствующего порядка исходной матрицы. Однако возникает вопрос, как вычислить в моем примере для матрицы второго порядка 3-ю внешнюю степень...

(Оффтоп)

Спасибо за ТС, но уже не ТС

-- 25.01.2015, 01:03 --

Вообще-то я хочу знать как вычисляются функции перехода для $r$-ой внешней степени векторного расслоения. Разбираюсь по Гриффитсу, Харрису. У них написано так: если $\{g_{\alpha\beta}\}$ -функции перехода для расслоения $E,$ то расслоение $\bigwedge^r E$ задается функциями перехода $j_{\alpha\beta}(x)=\bigwedge^r g_{\alpha\beta}(x)\in GL(\bigwedge^r\mathbb{C}^k).$

(Оффтоп)

Если бы проблема состояла в решении задачи, возможно. Мой вопрос состоит в определении неизвестного мне понятия. Здесь можно долго ходить по кругу самостоятельно...

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #967858 писал(а):

Насколько поняла, каждый элемент новой матрицы вычисляется как некоторый минор соответствующего порядка исходной матрицы.

Ну все правильно, - в базисе из наборов $\wedge_{i\in I} e_i$, где $I$ пробегает все множества мощности $k$, матрица оператора $\wedge^k A$ будет состоять как раз из соответствующих миноров порядка $k$ матрицы оператора $A$ в базисе $e_1,...,e_n$.

[Munin]

patzer2097
А мы с grizzly правильно определение прочитали?

[grizzly]

patzer2097
А разве здесь в конкретном случае не $n=2$ (размерность пространства) и $k=3$ (степень внешнего произведения пространства)? Тогда ведь всё должно выродиться напрочь в какой-то $0$? Или я совсем мимо темы проехал?

[patzer2097]

Munin, как я понимаю, да; вообще говоря, $A_1\wedge A_2$ переводит $x_1\wedge x_2$ в $A_1x_1\wedge A_2x_2$.

-- Вс янв 25, 2015 00:17:45 --

grizzly Вы правы, конечно, поскольку $\wedge^3\mathbb{R}^2$ - это нулевое пространство (так как любые три вектора в $\mathbb{R}^2$ линейно зависимы)

Еще один частный случай. Если $A$ - это $nxn$ матрица, то $\wedge^n A=\det A\in\mathbb{C}$.

[OlgaD]

Давайте лучше отталкиваться от обозначений в книге. Я правильно понимаю, что $GL(\bigwedge^r\mathbb{C}^k)$ есть полная линейная группа векторного пространства $\bigwedge^r\mathbb{C}^k?$