Догонялки: задачка на кинематику

[Alex_J]

amon в сообщении #964520 писал(а):

Поэтому только намекаю. $y=0$ дает время.

Вот это действительно мысль. Решать за меня не надо - всё равно пока не приду к уравнению этой самой линии погони, не буду считать задачу решённой.

Утундрий в сообщении #964474 писал(а):

У меня получился чудный интеграл

Вот-вот, в полярных координатах чудеса происходят, но чудеса неконструктивные.

[DimaM]

Alex_J в сообщении #964657 писал(а):

пока не приду к уравнению этой самой линии погони, не буду считать задачу решённой

В задаче не требуется искать уравнение этой самой линии, требуется найти время.
Полезно записать скорость изменения компоненты расстояния, параллельной линии движения точки A, и скорость изменения расстояния, а потом скомбинировать эти выражения, чтобы угол пропал.

[abiturient]

Если ТС ещё не совсем забил на задачу, предложу свои "намёки" на решение (в смысле--найти траекторию), доступные по уровню, ибо сам являюсь перваком.
Итак, выберем СК так, чтоб её центр совпадал с точкой В в момент, описываемый н.у. Вектор скорости u направим в положительном направлении оси x. Ось у расположим так, чтоб положение точки А в начальный момент времени совпадало с координатой $(0,h)$. Угол $\alpha$ -- Угол между касательной к траектории и осью х.
Тогда в произвольный момент времени

$$\frac{dy}{dx}=-\tg\alpha=\frac{y}{ut-x}$$

$$y\frac{dx}{dy}=x-vt$$

Дифференцируем ещё раз.

$$udt=-yd(\frac{dx}{dy})$$

С другой стороны

$$vdt=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=-dy\sqrt{1+(dx/dy)^2}$$

Отсюда

$$\frac{u}{v}=\frac{yd(dx/dy)}{dy\sqrt{1+(dx/dy)^2}}$$

Дальше замена

$$z\equiv \frac{dx}{dy}$$

И интегрирование с учетом н.у. Так что задача вполне решабельна для первокурсника.
ПС: Наверное, надо убрать под кат, но я этого не умею)

[abiturient]

Во втором ур-нии $y\frac{dx}{dy}=x-ut$. Опечатка.

[Alex_J]

abiturient

Не забил. Времени нету.

Подсказки любопытные :)

[DimaM]

abiturient в сообщении #966385 писал(а):

$$\frac{dy}{dx}=-\tg\alpha=\frac{y}{ut-x}$$

$$y\frac{dx}{dy}=x-vt$$

Правые дроби неправильны: компоненты скорости меняются со временем.

[abiturient]

Не понимаю, про что вы. В самом деле да, там описка $\frac{dx}{dy}=-\tg\alpha=-\frac{y}{ut-x}=\frac{y}{x-ut}$. Из геометрических соображений. Если нарисовать, то один катет треугольника $y$, второй $ut-x$.

[abiturient]

*$\frac{dy}{dx}$ конечно же...Почему нет правки сообщений? Я не очень ещё привык к латеху, за всякими frac формул не вижу, а в "предпросмоте" смотрю только, чтоб скомпилировалось. По этому часто "опечатываюсь".

[Munin]

abiturient в сообщении #966765 писал(а):

Почему нет правки сообщений?

Есть, в пределах часа. Станете ЗУ - будет без ограничений.

[DimaM]

abiturient в сообщении #966749 писал(а):

Если нарисовать, то один катет треугольника $y$, второй $ut-x$.

Согласен.
Но вот отрезка $x-vt$ точно нигде нет.

Вообще, по условиям задачи требуется найти время. Время находится без подобных ухищрений.

[Alex_J]

DimaM в сообщении #967055 писал(а):

Время находится без подобных ухищрений.

Вот-вот. И без дифференциальных уравнений. Задачка - для первого курса. Пока только в поездках в метро набрасываю решения, но даже через предложенные $\frac {dx}{dy}$ получается совсем не по-первокуровски, и это только составить уравнение. А решить - вообще. Или у нас сильно образование хуже стало? Ведь это из книги 70 какого-то года...

[DimaM]

Alex_J
Время погони с подсказками находят продвинутые десятиклассники.
Подсказки такие:
- пусть самолет летит вдоль оси $x$, ракета первоначально движется по $y$, расстояние между ракетой и самолетом $l$, проекция расстояния на ось $x$ равна $l_x$;
- выразите $\dfrac{dl_x}{dt}$ и $\dfrac{dl}{dt}$ через скорости и угол между скоростью ракеты и осью $x$;
- попытайтесь исключить из полученных выражений угол.

Когда (если) проделаете это, напишите, что получилось.

[Утундрий]

DimaM в сообщении #967688 писал(а):

Время погони с подсказками находят продвинутые десятиклассники.

Если условие "с подсказкой" существенное, то я по крайней мере не слабее продвинутого десятиклассника. Неплохой результат

[abiturient]

DimaM в сообщении #967055 писал(а):

abiturient в сообщении #966749 писал(а):

Если нарисовать, то один катет треугольника $y$, второй $ut-x$.

Согласен.
Но вот отрезка $x-vt$ точно нигде нет.

Вообще, по условиям задачи требуется найти время. Время находится без подобных ухищрений.

2)Во втором ур-нии $y\frac{dx}{dy}=x-ut$. Опечатка. Я же сразу поправился(22.01.2015, 05:20).
3)То, что по условиям задачи--абсолютно скучно, ибо в современном варианте задачника приведен разбор с ответом.

[Alex_J]

История с географией.

Среди множества выкладок у меня была и такая:

$\mathbf{r}_A=\mathbf{r}_B: uT\mathbf{e}_x+l\mathbf{e}_y=v\int_0^T{\mathbf{e}_{BA}(\tau)d\tau}$
$\mathbf{e}_{BA}(\tau)=\cos{\varphi(\tau)}\mathbf{e}_x+\sin{\varphi(\tau)}\mathbf{e}_y$
$uT=v\int_0^T\cos{\varphi(\tau)}d\tau$
$l=v\int_0^T\sin{\varphi(\tau)}d\tau$

А тут добрался-таки до решебника, где на хорошем английском объясняется, что можно прийти к системе:
$uT=\int_0^Tv\cos{\varphi(\tau)}d\tau$
$l=\int_0^Tv-u\cos{\varphi(\tau)}d\tau$

Не буду сейчас подгонять одно под другое, замечу только, что ответ предлагается в решебнике такой:
$T=\frac{ul}{v^2-u^2}$
Тогда как решение системы аккуратное приводит к:
$\int_0^T\cos{\varphi(\tau)}d\tau=\frac{uT}{v}$
$l=vT-u\frac{uT}{v}=T(v-\frac{u^2}{v})$
Ну и
$T=\frac{vl}{v^2-u^2}$
Вряд ли тут можно сделать ошибку в таких простых вычислениях, хотя интересно, что время должно быть скорее пропорционально $u$, чем $v$, что мы и наблюдаем в решебнике, но выкладки дают другое.

Нда-с. А пока подгоняю свою систему под решебную.

-- 29.01.2015, 02:59 --

Скорее в решебнике опечатка (хотя это издание для индийского университета), ведь если $u=0$, то по-ихнему выходит $T=0$, а это бред, а вот по расчётам как раз $T=\frac l v$, от чего как говорится никуда не деться по факту.