Помогите разобраться

[loshka]

Здравствуйте, к сожалению до учась до третьего курса на матфаке я пришел к выводу, что так и не понимаю, что такое операция возведения в нецелую степень, функции синус и косинус

Как я знаю множество действительных чисел является полем с определенными на нем 2 операциями $+$ и $*$ и выполнен ряд условий на них, и как я понимаю функция из $R$ в $R$ $F(x)=x^p , p>0$ должна как-то через эти операции определяться, только вот как сообразить не могу, в случае натурального $p$ все понятно, но что делать , если $p=1/2$???

Я просто не понимаю, как высчитывается $3=\sqrt{9}$ т.е. ищется такой элемент, что бы при выполнение операции умножения $3$ на $3$ получилось число 9?

Как тогда быть когда степень иррациональное число?

Та же самая картину с синусами и косинусами, как определяются эти штуки, да очевидно, что можно определить через ряды, но опять же возникает вопрос, ведь в поле операция $+$ ассоциативна, а в рядах так просто переставлять члены нельзя, да и вообще, когда-то же не было рядов как без них определить функцию?

Мучают меня эти вопросы давно, а ответа найти так и не могу, объясните пожалуйста как все это происходит

[patzer2097]

вот это да

[Dan B-Yallay]

loshka в сообщении #966963 писал(а):

Здравствуйте, к сожалению до учась до третьего курса на матфаке я пришел к выводу, что так и не понимаю, что такое операция возведения в нецелую степень, функции синус и косинус

loshka в сообщении #966963 писал(а):

Мучают меня эти вопросы давно, а ответа найти так и не могу, объясните пожалуйста как все это происходит

Не верю!! (Станиславский)

[mihailm]

loshka в сообщении #966963 писал(а):

...до учась до третьего курса на матфаке...

Как ВУЗ то называется?

[CptPwnage]

Насколько я помню делается так.
Допустим мы хотим определить $\sqrt{2}$. Заметим, что если мы бы искали такое число среди рациональных чисел, то ничего бы не нашли, как известно нет такого рационального числа, которое в квадрате дает $2$. Поэтому нужно пользоваться свойствами действительных чисел (аксиомами, определяющие действительные числа). У Зорича такую роль играет аксиома полноты - если у нас есть два множества действительных чисел $A$ и $B$, причем любой элемент $B$ больше любого элемента $A$, то найдется элемент $x$ лежащий между $A$ и $B$.
Рассмотрим тогда $A = x \in \mathbb{R} : x^2 < 2 $ и $B = x \in \mathbb{R} : x^2 > 2 $. По аксиоме найдется элемент $y$, посередине между этими множествами. Но ему ничего не остается кроме как быть $y^2 = 2$
Аналогично можно определить любые корни и рациональную степень $x^{\frac{a}{b}} = (x^{\frac{1}{q}})^p$
Теперь к действительной степени.
Возьмем $x$ - иррациональное. Тогда определим $a^x = \sup_{q<x} a^q$. $q$ здесь рациональное, так что это выражение вполне определено. Неформально мы просто берем например приближение иррационально числа десятичными дробями - они рациональны - возводим в них и в пределе получаем искомую степень.

[ex-math]

Здесь помимо структуры поля используется еще и непрерывность. Почитайте, как определяется показательная функция вещественного аргумента, многое прояснится. Еще почитайте о вещественных числах, как они строятся, какими свойствами обладают. Это обычно в начале хороших учебников по мат.анализу пишут.

[CptPwnage]

Теперь с синусом и косинусом.
Сначала докажем что окружность единичного радиуса спрямляема (короче говоря имеет какую-то длину). Для этого определим ее длину как супремум по длинам всех ломаным с вершинами на окружности, лежащим внутри круга. Можно показать что она будет конечна. Обозначая ее за $2 \pi $ можно показать что $\pi < 4$ и больше $2$.
Теперь возьмем какую-то дугу окружности с началом в крайней правой точке окружности и идущую против часовой стрелки. Пусть она имеет длину $y$. Тогда $\sin(y)$ по определению будет равен абсциссе проекции из конца дуги на ось $x$. Ну а через синус формулами приведения можно и другие три функции выразить

[mihailm]

Насколько я (точно!) знаю делается это так.
Берем калькулятор и считаем (все остальные способы подсчета корней фигня).
loshka, вы калькулятор то хоть видели?

[ewert]

CptPwnage в сообщении #966976 писал(а):

Теперь возьмем какую-то дугу окружности с началом в крайней правой точке окружности и идущую против часовой стрелки. Пусть она имеет длину $y$.

Далеко, далеко не пусть. Из существования длины всей окружности ещё далеко не следует существование длины дуги и тем более какие-то свойства этой дуги. Вы чересчур уж легкомысленно торопитесь.

[arseniiv]

Надо будет ещё определить угол (поворота), и как углы связаны с дугами любимой окружности. Эх, было бы много проще аргумент синусов считать в оборотах — можно вообще было бы не трогать длину никакой кривой!

-- Пт янв 23, 2015 03:23:28 --

Она бы, конечно, в покое нас не оставила и повылезла в ряде Тейлора и других интересных местах, но зато вначале экономия.

[loshka]

Спасибо CptPwnage буду думать, у меня это почему-то все очень тяжело вяжется с понятием поля из алгебры

[arseniiv]

Так ведь, ещё раз, поля тут недостаточно. Поля бывают разные, и не во всех них есть смысл у некоторых вещей, определённых для $\mathbb R$ или, скажем, $\mathbb C$.

[CptPwnage]

ewert в сообщении #967000 писал(а):

CptPwnage в сообщении #966976 писал(а):

Теперь возьмем какую-то дугу окружности с началом в крайней правой точке окружности и идущую против часовой стрелки. Пусть она имеет длину $y$.

Далеко, далеко не пусть. Из существования длины всей окружности ещё далеко не следует существование длины дуги и тем более какие-то свойства этой дуги. Вы чересчур уж легкомысленно торопитесь.

Ну все-таки почти следует, если не существует длина дуги (супремум длин ломаных равен бесконечности) то эти ломаные можно тривиально достроить до вписанных в окружность ломаных и для них получаем то же самое - супремум бесконечность. Но еще надо доказать что длина дуги монотонно возрастает и все такое.

[iifat]

CptPwnage в сообщении #966976 писал(а):

определим ее длину как супремум по длинам всех ломаным с вершинами на окружности, лежащим внутри круга

Что-то я вам, простите, не верю. Вот видели, как дети закрашивают окружность? Карандашом влево-вправо, влево-вправо. По-моему, я таким вот образом могу любой длины ломаную сделать.
И что за «внутри круга»? Определять длину кривой через объемлемую ей фигуру — моветон, имхо. А вдруг нам случится встретить незамкнутую кривую?

[CptPwnage]

iifat в сообщении #967044 писал(а):

CptPwnage в сообщении #966976 писал(а):

определим ее длину как супремум по длинам всех ломаным с вершинами на окружности, лежащим внутри круга

Что-то я вам, простите, не верю. Вот видели, как дети закрашивают окружность? Карандашом влево-вправо, влево-вправо. По-моему, я таким вот образом могу любой длины ломаную сделать.
И что за «внутри круга»? Определять длину кривой через объемлемую ей фигуру — моветон, имхо. А вдруг нам случится встретить незамкнутую кривую?

Да да правильно, сначала определим длину верхней полуокружности - надо сказать что мы берем ломаную с вершинами на полуокружности у которой абсциссы узлов возрастают, первая точка - самая левая, конечная - самая правая. И по таким уже супремум. Ну и для всей окружности возьмем в 2 раза большую длину.
Я взял это определение из http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf по матанализу для 57й школы - страница 56. Вполне строгое определение в принципе