Какой инвариантный объект так определяется?

[VanD]

Пусть на гладком многообразии фиксирована некоторая гладкая функция $F$. Её второй дифференциал не инвариантен так как его компоненты преобразуются при переходах между системами координат не транзитивно. Но если добавить ещё и компоненты первого дифференциала, то получится что задано некоторое соответствие, которое каждой системе координат сопоставляет набор гладких функций от координат (первые и вторые частные производные $F$), причём эти функции от координат преобразуются при переходах к другим системам координат транзитивно. Получается, что такое соответствие задаёт некоторый инвариантный объект (но не тензор). Вопрос в том, что это за штука так определяется? И вообще есть ли в этом смысл?

[Утундрий]

Можете выписать "штуку" явно?

[VanD]

В частном случае двумерной плоскости (для упрощения):
определим в точке $P$ в координатах $(x, y)$ числа $A, B, C, D, E$, а в других координатах, заданных в окрестности $P$ $(u(x, y), v(x, y))$ положим
$A' = A \frac {\partial x}{\partial u} + B \frac {\partial y}{\partial u}$,
$B' = A \frac {\partial x}{\partial v} + B \frac {\partial y}{\partial v}$,
$C' = A \frac {\partial^2 x}{\partial u^2} + B \frac {\partial^2 y}{\partial u^2} + C (\frac {\partial x}{\partial u})^2 + 2D \frac {\partial x}{\partial u} \frac {\partial y}{\partial u} + E (\frac {\partial y}{\partial u})^2$,
$D' = A \frac {\partial^2 x}{\partial u \partial v} + B \frac {\partial^2 y}{\partial u \partial v} + C \frac {\partial x}{\partial u} \frac {\partial x}{\partial v} + D (\frac {\partial x}{\partial u} \frac {\partial y}{\partial v} + \frac {\partial x}{\partial v} \frac {\partial y}{\partial u}) + E \frac {\partial y}{\partial u} \frac {\partial y}{\partial v}$,
$E' = A \frac {\partial^2 x}{\partial v^2} + B \frac {\partial^2 y}{\partial v^2} + C (\frac {\partial x}{\partial v})^2 + 2D \frac {\partial x}{\partial v} \frac {\partial y}{\partial v} + E (\frac {\partial y}{\partial v})^2$
Разумеется здесь все производные берутся в точке $P$. Я понимаю, что обозначения скорее всего не самые удобные, но общая идея вроде должна быть ясна. Понятно, что $A, B$ преобразуются как компоненты дифференциала произвольной функции (ковектора), а $C, D, E$ как компоненты второго дифференциала этой функции (самого по себе объекта не инвариантного), но если не добавлять в список компонент вместе с $C, D, E$ числа $A, B$, то транзитивности преобразования компонент при сменах координат не будет. А если их добавить, то она появляется для набора компонент $A, B, C, D, E$.

[Padawan]

Инвариантный объект - струя

[VanD]

Padawan в сообщении #966951 писал(а):

Инвариантный объект - струя

Точно. Спасибо)